【知識百寶箱】2024年第15篇：香港中學會考數學科目分析（中文中學數學篇）（附錄）

題記：「知識百寶箱」系列是「寶仁工作室」為了實踐2021-2022年度工作願景，而特別設立。目的旨在加快「寶仁工作室」的轉型，全面成為以「知識型專欄」為基礎之「知識主導型」的網誌。期望以協助提升大眾的學術素養為信條，並配合STEM的發展。除了普及科學知識外，也負起潛移默化為大家的人生有所改變的重責大任。將以學術專題探討、學習筆記為內容主體，回饋社會，服務讀者。

 

内容介紹：本篇屬重啟篇章，會跟讀者分析中文中學會考數學課程，本人將透過多份歷史資料，配合本人對高等數學課程的了解，客觀分析中文中學會考數學課程的歷年沿革。以協助讀者對中文中學會考數學課程的歷年沿革有基本了解，從而幫助有讀者可以選用合適的Past Paper去備試，爭取好成績。以及協助教育工作者在進行數學教育工作時，有更多參考資源可供參考。

 

各位大家好，本篇為《2024年第15篇：香港中學會考數學科目分析（中文中學數學篇）》的附錄，以中英雙語形式，整理並列出當年的會考數學課程。建議讀者連同正篇一同閲讀，從而令大家更清晰了解歷年會考數學課程之發展。

 

在本人撰寫正篇及附錄期間，曾研讀大量參考讀物，包括：

 

Ø  梁操雅和羅天佑合著的《香港考評文化的承與變：從強調篩選到反映能力》

Ø  歷年會考之考試規則及課程

 

這些考試規則及課程，以及上述列出之參考讀物，可以在香港中央圖書館、港大參考圖館和中大圖書館中找到。這都幫助本人對會考數學課程有如此透徹的了解，特此鳴謝。

 

附錄1：中文中學會考普通數學（課程一）課程

1952六年制乙組數學（又稱乙種數學）, 1954, 1957

試卷一：算術及代數

算術

1.         簡易定理及算化/法；基本四則；因子，最大公約，最小公倍。英國及標準之度，量，衡；鎊，仙令，辨士；元，角，分；担，斤，兩。

2.         分數及小數（不包括循環小數），平方根。

3.         平均；比及比例；百分法；賺賠。

4.         單利；複利計算法；股票簡易計算法（不包括佣錢）。

5.         求積法（包括長立方體，柱形及球形之面積及體積之公式）。

6.         對數表之用法。

7.         有效數字（省畧乘除法並非必需）。

代數

1.         基本算法  乘方及開方，恆等式  因子及因子分析法  最大公約與最小公倍  餘數定理交代式及對稱式函數析因式法。

2.         有理分數，分式之約簡。

3.         不盡根。

4.         指數  對數。

5.         一次方程式  二元及多元一次聯立方程式。

6.         無理方程式  指數及對數方程式。

7.         一元二次方程式  可簡約為二次方程式之高次方程式  二次方程式之討論  二元二次聯立方程式。

8.         三元二次聯立方程式  應用題  文字題。

9.         函數圖解。

10.     比及比例。

11.     等差級數  等比級數  調和級數  ∑n ∑n^2 ∑n^3。

試卷二：平面幾何及三角

平面幾何

1.         試題包含作圖及定理問題。

2.         作圖問題將根據下列（A部）課程命題，但亦可包含下列（B）部幾何定理課程之簡易應用問題。

3.         除題内有特別指示外，作圖題必需寫答作法。

4.         所有作圖必需準確明顯，作線尤不應擦去。

5.         除題内有特別指示必需外，作圖題可不用證明。

6.         定理問題將根據下列（B）部課程命題，並將包括各定理之應用問題。

（A）部（作圖題）

Ø  平分已設角及直線。

Ø  作直線之垂線。

Ø  作一角等於已設角。

Ø  作60度，45度，及30度角。

Ø  作一直線平行於已設直線。

Ø  已知充份條件，作三角形及四邊形。

Ø  分一直線成任意數目之等分，或成兩（或數）線段，等於已設比例。

Ø  將已設多邊形變形成一等積三角形。

Ø  作圖之切線及兩圓之公切線。

Ø  作三角形之外切圓，内切圓及傍切圓。

Ø  作一三角形内接於已設圓與已設三角形等角。

Ø  作一三角形外切於已設圓與已設三角形等角。

Ø  設充分已知條件，作圖。

Ø  將已設多邊形變形成一等積正方形。

Ø  求三條所設直線之第四比例項，及兩條所設直線之比例中項。

Ø  作3，4，6或8邊之等邊圖形，内接或外切於已設圓。

（B）部（定理）

角與直線的關係/同頂角：

Ø  兩直線所成鄰角之和等於兩直角；逆定理。

Ø  兩直線相交，所成對頂角相等。

Ø  若兩直線被一截線所截，而：

（一）内錯角相等。

（二）同位角相等。

（三）在截線同側之内角互為補角

則此兩直線平行；逆定理。

Ø  諸直線與同一直線平行必互相平行。

三角形與直線形：

Ø  三角形三個内角之和等於兩直角。

Ø  多邊形各内角之和等於其邊數二倍減四，再乘以直角。

Ø  多邊形諸外角之和等於四直角。

Ø  兩個三角形之二邊和所夾之角分別相等則此兩個三角形是全等形。

Ø  等腰三角形兩腰所對之角相等。

Ø  兩個三角形之三邊分别相等是全等形。

Ø  兩個直角三角形，其斜邊及他一邊分別相等是全等形。

Ø  三角形之兩邊不等，大邊所對之角大；逆定理。

Ø  三角形兩邊之和大於第三邊。

Ø  從直線外一點到直線上之一切線段，以垂線為最短。

Ø  平行四邊形之雨組對邊相等，兩組對角相等，對角線平分平行四邊形，對角線互相平分。

Ø  四邊形之一組對邊相等且平行，則此四邊形是平行四邊形。

Ø  過三角形一邊之中點，引他一邊之平行線，必平分第三邊。

Ø  聯三角形兩邊中點之線段，必平行於第三邊，其長等於第三邊之一半。

Ø  一直線和三條（或三條以上）平行線相交，如在相隣兩平行線間之部份彼此相等，則平行線和任一直線相交其所截之部分亦彼此相等。

面積：

Ø  同底邊同高之平行四邊形，其面積相等。

Ø  平行四邊形與同底線同高之長方形面積相等。

Ø  等底線等高之平行四邊形其面積相等。

Ø  三角形之面積等於同底線同高或等底線等高之平行四邊形面積之一半。

正方形及長方形：

Ø  如兩線段中之一線段分成若干部份，則此兩線段所成之矩形等於各部份與未分線段所成矩形之和。

Ø  兩線段和上之正方形等於此兩線段上之正方形之和，加去其所成矩形之兩倍。

Ø  兩線段差上之正方形等於此兩線段上之正方形之和，減去其所成矩形之兩倍。

Ø  兩線段上正方形之差等於此兩線段之和同差所成之矩形。

Ø  直角三角形中斜邊上之正方形與其他兩邊上之正方形之和等積。

Ø  在任何鈍角三角形中，鈍角對邊之平方等於其他二邊之平方和，加上二邊中之一邊與其他一邊在此邊上之射影之積之兩倍。

Ø  在任何三角形中，鋭角對邊之平方，等於其他二邊之平方和，減去二邊中之一邊與其他一邊在此邊上射影之積之兩倍。

Ø  在任何三角形中兩邊平方之和之兩倍，等於第三邊之平方和加對應中線平方之四倍。

軌跡：

Ø  圓周是距一點等已設距離所有點之軌跡。

Ø  在所設直線任何一側之平行線是距該直線定距離之所有點之軌跡。

Ø  一直線中垂線是距該線兩端等距離之所有點之軌跡。

Ø  角之平分線是距該角兩邊（或二相交直線）等距離之所有點之軌跡。

Ø  二定點張定角頂點之軌跡是一雙弧，以聯結二定點線段為弦，且所含弓形角等於定角。

三角形之内心，傍心，外心，垂心及重心：

Ø  三角形内角平分線相遇於一公共點（内心），此點距三角形之三邊等遠。

Ø  三角形兩外角之平分線與第三角之内分線相遇於一公共點（傍心），此點距三角形之三邊等遠。

Ø  三角形三邊之中垂線通過一公共點（外心），此點距三角形之三頂點等遠。

Ø  三角形之三個高相遇於一公共點（垂心）。

Ø  三角形之中線相遇於一公共點，此點到任何一頂點之距離等於此頂點到邊中點之距離之三分之二。

圓：

Ø  通過圓心之直線若垂直於弦，則平分此弦；逆定理。

Ø  通過不在一直線之三點祗有一圓。

Ø  在同圓内等弦離圓心等遠；逆定理。

Ø  切線垂直於通過切點之半徑。

Ø  從圓外一點所引一圓之兩切線相等；並與聯接此點到圓心之直線作成兩相等角。

Ø  聯接兩相切圓圓心之直線通過切點。

Ø  圓周角為同弧圓心角之一半。

Ø  内接於同一弓形之諸角相等，如兩點之兩同側張角相等，則此兩定點及兩張角之頂點同在一圓周上。

Ø  内接於半圓之角是直角；内接於比半圓大之弓形角小於一直角；内接於比半圓小之弓形角大於一直角。

Ø  若直角内接於一圓，則斜邊為圓之直徑。

Ø  内接四邊形之對角互為補角；逆定理。

Ø  在同圓或等圓内，等弧有等圓心角；及逆定理，在同圓或等圓内，等圓心角截等弧。

Ø  在同圓或等圓内，等弦截等弧；及逆定理，等弧有等弦。

Ø  弦與接於其一端之切線所成角，等於此角内之弧所對之圓周角。

Ø  若兩弦相交於圓内，則一弦之兩段之積等於他弦之兩段之積。

Ø  從圓外一點作一切線和一割線，則切線是割線和其圓外一段之比例中項；逆定理。

Ø  自一點引三角形各邊之垂線，若垂足共線，則此點在三角形之外接圓上（Simson's Line西摩松定理）。

Ø  三角形中各邊之中點，頂垂線之垂足，及垂心與各頂點聯接線段之中心，凡九點，必共圓（九點圓）；九點圓圓心為外接圓心與垂心聯極線段之中心點；九點圓之半徑等於外接圓半徑之半。

比例，相似三角形：

Ø  三角形中平行於一邊之直線，分其他二邊成比例。

Ø  若兩三角形之對應角相等，則其對應邊成比例；逆定理。

Ø  若一三角形之一角等於另一三角形之一角，且此兩角夾邊成比例，則此兩三角形相似。

Ø  從一直角三角形直角頂點之垂線分直角三角形成兩個相似三角形，並與直角三角形相似。

Ø  三角形中之一内角或外角之平分線對邊分成二線段，其比等於兩鄰邊之比。

Ø  相似三角形之比等於其對應邊平方之比。

三角

1.         銳角三角函數  直角三角形解法  關於直角三角形之應用題。

2.         對數表及三角函數表用法。

3.         徑/弳法，弧長，扇形面積。

4.         同角函數之關係  恒等式。

5.         任意角之三角函數，正角及負角。簡易三角方程式（0度至360度）。

6.         三角函數之圖解，兩角和，兩角差，及兩角積之公式。

7.         2A，3A，及A/2之三角函數。

8.         三角形之角與邊之關係。外心，内心，傍心及垂心。

9.         三角形面積之公式  三角形之解法。

10.     高度與距離之應用題。

 

1961六年制乙組數學, 1964, 1965（僅用五年制之共有内容）

試卷一：算術及代數（二小時）

算術

1.         複習

代數

1.         分式及分式方程。

2.         二次方程式之根，根之和與根之積，二次方程式之圖解，高次方程式而可用二次方程式解者。

3.         聯立方程式：一直線方程式及一、二次方程式之聯立方程式，三元一次聯立方程式，文字聯立方程式。

4.         二元二次聯立方程式而可用一元二次方程式解者。

5.         指數定律，分指數，零指數及負指數。

6.         根式，根式之應用，有理化因式，二項根式之根。

7.         無理方程式。

8.         對數原理，底之變換，指數方程式。

9.         比及比例，變數。

10.     常數及變數，函數關係，函數，函數表示法。

11.     多項式。

12.     餘式定理。

13.     恆等式，待定係數法。

14.     絕對對稱及輪換對稱函數及其因子分解。

15.     順序，級數，等差級數，調和級數，幾何級數之收斂。

16.     ∑n，∑n^2，∑n^3

17.     簡易之排列與組合。或然率。統計之普通概念。

試卷二：幾何及三角（二小時）

幾何

1.         圓之對性質。

2.         三角形之外接圓。

3.         圓心角及圓周角。

4.         共圓點之檢騐。

5.         三角形外接圓半徑。

6.         等弧及等弦。

7.         弧長，扇形面積。

8.         切綫性質。

9.         弦切角。

10.     圓之相切。

11.     切綫作法。

12.     設充分已知條件作圓。

13.     正多邊形。

14.     三角形之性質。

15.     軌跡。

16.     恆等式之幾何解釋。

17.     投影及坐標。

18.     餘弦定律。

19.     畢氏（Pythagoras）定理之推廣。

20.     阿氏（Apollonius）定理。

21.     比及比例。

22.     比例綫段。

23.     三角形兩邊成比例綫定理及其逆定理。

24.     分角綫定理及其逆定理。

25.     比及比例之作圖。

26.     相似三角形定理。

27.     比例中項定理及作圖。

28.     相交弦定理及其逆定理。

29.     切綫性質定理及其逆定理。

30.     有關相交弦定理之作圖。

31.     相似形面積。

32.     相似多邊形之作圖。

33.     西摩松線（Simson's Line）。九點圓。

34.     平面幾何定理之分類。

35.     相似體面積之比，相似體體積之比。

36.     立體幾何之普通原理，包括以下各項。

37.     相交面及平行面。

38.     平行於一面之諸直線。

39.     平行於一線之諸直線。

40.     空間之傾斜諸線。

41.     線與面所成之角。

42.     兩面角。

43.     兩傾斜線間之垂線。

44.     多面體及尤拉定理。

45.     五種正多面體。

46.     球體及其扇形體。

47.     經緯度。

三角

1.         正弦及餘弦。

2.         直角三角形解法及簡單應用題。

3.         三角函數表用法。

4.         簡易應用題可用直角三角形及對數解者。

5.         三角函數之關係。簡單恆等式。

6.         倒數比。

7.         弧度；弧長。扇形面積。

8.         恆等式。

9.         任意角，正或負。

10.     簡易方程（0-180）。

11.     簡單三角函數之圖解。

12.     三角形正弦定律及餘弦定律。

13.    三角形之面積公式，（後者無須證明）。

14.     三角形外接圓，內切圓，及旁切圓之半徑公式。

15.     三角形邊與角之關係。

16.     任意三角形解法。

17.     高及距離習題。

18.     複角公式，倍角及半角公式。

19.     和與積公式。

20.     三角方程式解法（由0-360）。

21.     18，36，54，72之三角函數（可用複角及根式表示）

22.     恆等式及簡單消去法。

 

1965五年制乙組數學, 1968普通數學, 1971普通數學（課程一）, 1974數學（同等課程甲）

試卷一：算術及代數（二小時）

算術

1.         複習

代數

1.         分式及分式方程。

2.         二次方程式之根，根之和與根之積，二次方程式之圖解，高次方程式而可用二次方程式解者。

3.         聯立方程式：一直線方程式及一、二次方程式之聯立方程式，三元一次聯立方程式，文字聯立方程式。

4.         二元二次聯立方程式而可用一元二次方程式解者。

5.         指數定律，分指數，零指數及負指數。

6.         根式，根式之應用，有理化因式，二項根式之根。

7.         無理方程式。

8.         對數原理，底之變換，指數方程式。

9.         比及比例，變數。

10.     常數及變數，函數關係，函數，函數表示法。

11.     多項式。

12.     恆等式，待定係數法。

13.     順序，級數，等差級數，調和級數，幾何級數之收斂。

試卷二：幾何及三角（二小時）

幾何

1.         圓之對性質。

2.         三角形之外接圓。

3.         圓心角及圓周角。

4.         共圓點之檢騐。

5.         三角形外接圓半徑。

6.         等弧及等弦。

7.         弧長，扇形面積。

8.         切綫性質。

9.         弦切角。

10.     圓之相切。

11.     切綫作法。

12.     設充分已知條件作圓。

13.     正多邊形。

14.     三角形之性質。

15.     軌跡。

16.     恆等式之幾何解釋。

17.     投影及坐標。

18.     餘弦定律。

19.     畢氏（Pythagoras）定理之推廣。

20.     阿氏（Apollonius）定理。

21.     比及比例。

22.     比例綫段。

23.     三角形兩邊成比例綫定理及其逆定理。

24.     分角綫定理及其逆定理。

25.     比及比例之作圖。

26.     相似三角形定理。

27.     比例中項定理及作圖。

28.     相交弦定理及其逆定理。

29.     切綫性質定理及其逆定理。

30.     有關相交弦定理之作圖。

31.     相似形面積。

32.     相似多邊形之作圖。

三角

1.         正弦及餘弦。

2.         直角三角形解法及簡單應用題。

3.         三角函數表用法。

4.         簡易應用題可用直角三角形及對數解者。

5.         三角函數之關係。簡單恆等式。

6.         倒數比。

7.         弧度；弧長。扇形面積。

8.         恆等式。

9.         任意角，正或負。

10.     簡易方程（0-180）。

11.     簡單三角函數之圖解。

12.     三角形正弦定律及餘弦定律。

13.    三角形之面積公式，（後者無須證明）。

14.     三角形外接圓，內切圓，及旁切圓之半徑公式。

15.     三角形邊與角之關係。

16.     任意三角形解法。

17.     高及距離習題。

 

附錄2：中文中學會考普通數學（課程二）課程

1971普通數學（課程二）, 1972, 1973, 1974數學（課程甲）

本綱要包括小學數學課程及下列各項目：

1.         近似值之估計，有效數字及準確之界限。

2.         質數及自然數之因子分解。含因子2，3，4，5，8，9，11之檢定法。最大公約數及最小公倍數。輾轉相除法。

3.         自然數（包括零在内），整數，有理數，實數及複數之概念及應用。

4.         整數不同底之表示法，符號為整數N以b為底之表示式，其中整數b恒為十進。

5.         簡單命題及其否定，命題之析取，合取，蘊涵及等價。單變元及兩變元命題函數之真值表及其在推理上之應用。

6.         數學歸納法及其對於簡易有限級數之應用。

7.         集及集之元素，子集，併集，交集及餘集。温氏圖解。子集之運算：冪等律，交換律，結合律，分配律及德摩根律。

8.         序偶，關係及映射之簡易概念及應用。關係及映射（或函數）之圖像。

9.         簡易流圖。

10.     羣之概念。有限及無限循環羣（即模數羣及整數羣），正多邊形羣及方陣羣。同構概念。

11.     簡易矩陣及行列式（階數不超過3）。綫性方程組解法。

12.     向量空間（維數不超過3）。純量與向量之積。兩向量之和及内積。簡易幾何應用。

13.     平行綫（平行性判定法可視作公理）。多邊形内角和，相似三角形，畢氏定理，圓周界及圓切角定理。

14.     普通平面形面積及立體圖形之體積，包括多邊形，圓，簡易多面體，直圓柱，直圓錐及球體。

15.     簡易平面幾何變換：反射，旋轉，平移，放大及其簡易組合。變換之矩陣表示。剪變換，伸縮變換。

16.     單元多項式及其運算。簡易分式。，及等之因式分解。

17.     一元二次方程，根與係數之關係。應用題。

18.     二元聯立方程組（一為一次，一為二次）。應用題。

19.     單變元及雙變元之不等式（只限一次及二次式）。綫性程序之圖解法。

20.    指數定律，包括零指數，負指數及分指數。（當時，恒表一正數x使）。以10為底之對數及其應用。

21.     平面之直角坐標系。直綫方程，直綫斜率。兩點距離，兩直綫交點。簡易軌跡。圓錐曲綫之標準式。

22.     角之量度，以度或弳為單位（但以不超過一個周角為限）。弧長及扇形面積。正弦，餘弦，正切函數及其圖像。三角函數之基本關係（及）。直角三角形解法及其應用。二維及三維空間之簡易應用題（只限於能用直角三角形求解者）。

23.     數據之搜集及分析。各類圖解，頻數折綫及累積頻數折綫。平均值之計算，中位數及四分位數之估計。

24.     簡易概率理論，和積定理及簡易應用。

 

附錄3：中文中學會考高級數學課程

1953六年制甲組數學（又稱甲種數學）, 1954, 1957 (cancel few concept)

試卷一：大代數及三角

大代數

1.         分項分式：二項式定理

2.         不等式：單一不等式－絕對與條件不等式，聯立不等式。

3.         一次不定方程式：二元單一方程式，聯立不定方程式。(1957 cancelled)

4.         變數法：單獨自變數－正變與反變，複變。

5.         排列與組合：n個不同字母之r排列數，環狀排列。許重許時不同字母之排列數，不盡相異之n個字母之排列數，n個不同字母之r組合數。組合總數，nCr之最大值，作/許重複時之組合。

6.         或然率：簡單事件－或然率，優勝率，預期率。複雜事件－獨立事件，互斥事件。

7.         單獨事件之重複試驗。

8.         數學歸納法。

9.         方程式論：基本定理－有理根。根與係數之關係。方程式之變換。虛根  笛卡兒氏符號法則。(1957 cancelled imaginary root)

10.     無理根之計算－何諸氏法。根之對稱函數。(1957 cancelled root function)

11.     普通三次與四次方程式：三次方程式通解－卡當氏公式。四次方程式通解－斐拉利氏解法。倒數方程式。三次方程式之不可化簡者之三角解法。(1957 cancelled)

12.     行列式與消去法：行列式之定義，行列式之性質，子式，行列式之乘法，消去法，聯立一次方程式之解法。

13.     無窮級數之收斂：比較審查法，審比法，冪級數之收斂。(1957 cancelled)

14.     二項級數，指數級數與對數級數，指數級數，自然對數之計算。(1957 cancelled)

三角

1.         斜三角形解法，應用題，複角與半角函數，三角函數之和差化積，三角恆等式，三角形之邊與角之關係。(1957 cancelled)

斜三角形解法，應用題，二角和，差及積公式，二倍角、三倍角及半角之三角函數，三角恆等式，三角形之邊與角之關係。(new)

2.         三角形之性質（外接圓半徑，内切圓半徑及傍切圓半徑公式），反三角函數，三角方程式，簡易三角級數，或/成等差級數，諸角之正弦與餘弦之和，棣美弗定理及其應用。(1957 cancelled)

三角形之性質（外接圓半徑，内切圓半徑及傍切圓半徑公式），反三角函數，恒等式及方程式，三角方程式。(new)

試卷二：解析幾何或微積分

解析幾何

1.         卡氏正坐標。

2.         兩點間之距離，分點坐標，斜角及線坡。

3.         平行線或垂直線之檢驗，角之公式。

4.         面積。

5.         曲線及方程式，方程式之軌跡，方程式之討論，水平及垂直漸近線，交點。

6.         交點。

7.         直線：點坡式，兩點式，截距式。

8.         三線共點之條件，直線之法線方程式。

9.         化普通式為法線式，直線至一點之垂直距離，直線系。

10.     圓：圓方程式，三條件定一圓，根軸，切線之長，圓系。

11.     抛物線，橢圓及雙曲線，抛物線，橢圓及雙曲線作圖法，共軛雙曲線及漸近線。

12.     圓錐曲線系。

13.     坐標之變換，移動及轉動，移軸及轉軸化簡方程式，任意二次方程式之軌跡。

14.     圓錐曲線之另一定義，普通坐標軸之移轉。

15.     切線及法線，次切線及次法線。

16.     極坐標。

17.     極方程式作圖法，極方程式之討論。

18.     正坐標與極坐標之關係，用極坐標求軌跡。

19.     超越曲線：指數曲線與對數曲線。正弦曲線。其他三角曲線。

20.     參數方程式及軌跡。

21.     化參數方程式為正坐標方程式。

22.     用曲線之各種參數方程式。

23.     用參數方程式解軌跡問題。

24.     圓錐曲線之直徑。

微積分

(1953-1956)

1.         極限，引數。

2.         ，三角函數，反三角函數，對數，指數函數，和積分數，函數之函數之微分。(1953)

，三角函數，反三角函數，對數及指數函數，和，積，分數，函數之函數之微分。(1954)

3.         上項函數及其簡易之函數的定積分與不定積分

4.         曲線，切線與法線，極大與極小，運動學，面積與體積等應用問題。

(1957-1964)

1.         導數之定義。，，，之微分。

2.         指數及對數函數，其圖形及其導數。

3.         二函數和，積，商及簡易之函數之微分，上述函數及其簡易之函數的定積分與不定積分，曲線，切線與法線，極大與極小，運動學，面積與體積等應用問題。

(English Version, just reference)

Higher Algebra

1.         Partial fraction.

2.         The Binomial Theorem.

3.         Inequalities.

Simple inequalities – Absolute and Conditional.

Simultaneous inequalities.

4.         Intermediate equations of the first degree. (1957 cancel)

Single equations in two variables.

Simultaneous equations.

5.         Variation

One independence variable – direct variation and inverse variation.

More than one independent variable.

6.         Permutation and combination.

The number of r-permutations of n different letters.

Circular permutation.

Permutations of different letters when repetitions are allowed.

The number of n-permutations of n letters which are noy all different.

The number of r-combinations of n different letters.

Total number of combinations.

Greatest values of nCr.

Combinations when repetitions are allowed.

7.         Probabilities.

Simple events – Probabilities, odds, expectation.

Compound events – Independent events, mutually exclusive events.

Repeated trial of a single event.

8.         Mathematical inductions.

9.         Theory of Equations.

The fundamental theorem – Rational roots.

Relations between roots and coefficients.

Transformation of equations.

Imaginary roots.

Descartes rule of signs.

Computation of irrational roots – Horner’s method.

Symmetric functions of the roots.

10.     The general cube and biquadratic equations. (1957 cancel)

Solution of the general cubic – Cardon’s formula.

Solution of the general biquadratic – Ferrari’s solution.

Reciprocal equations.

Trigonometric solution of the irreducible case of the cubic.

11.     Determinants & Elimination.

Definition of Determinants.

Properties of Determinants.

Minors. Developments of Determinants.

Elimination: Solution of Simultaneous Linear Equation.

12.     Convergence of infinite series. (1957 cancel)

Comparison test of convergence and divergence.

Ratio test.

Convergence of Power series.

13.     The binomial, exponential and logarithmic series. (1957 cancel)

The binomial series.

The exponential series.

The logarithmic series.

Calculation of the Natural Logarithm.

Higher Trigonometry

1.         Solution of Oblique triangles. Practical problems.

2.         Functions of compound angles and half angles.

3.         Transformations of products and sums of trigonometrical functions.

4.         Trigonometrical identities.

5.         Relations between the sides and angles of a triangle.

6.         Properties of triangles. Formular for circum-radius, in-radius & ex-radii.

7.         Inverse trigonometrical functions.

8.         Trigonometrical equations.

9.         Simple trigonometrical series. The sum of sines and cosines of angles in AP. (1957 cancel)

10.     De Moivre’s theorem and applications. (1957 cancel)

Analytical Geometry

1.         Rectangular Cartesian co-ordinates.

Lengths.

Point dividing a line segment in a given ratio.

Inclination & slope.

Test for parallel or perpendicular lines.

Angle Formula.

Area.

2.         Curve and Equation.

Locus of an equation.

Discussion of an equation.

Horizontal & vertical asymptotes.

Points of intersection.

3.         The Straight Line.

Point-slope form. Two-point form. Intercept form.

Condition that three lines shall intersect in a common point.

The normal equation of the straight line.

Reduction to the normal form.

The perpendicular distance from a line to a point.

System of straight lines.

4.         The Circle.

Equation of the circle.

Circles determined by three conditions.

Radical Axis. Length of the tangent.

System of circles.

5.         Parabola, Ellipse & Hyperbola.

Construction of the parabola, the ellipse and the hyperbola.

Conjugate hyperbolas & asymptotes.

System of conics.

6.         Transformations of Co-ordinates.

Transformation and Rotation.

Simplifying equations by translation and by rotation.

Locus of any equation of the 2nd degree.

Another definition of conics.

General Transformation of co-ordinates.

7.         Tangents and Normals. Subtangents and subnormals.

8.         Polar Co-ordinates.

Plotting of polar equations. Discussion of a polar equation.

Relations between rectangular and polar co-ordinates.

Loci using polar co-ordinates.

9.         Transcendental Curves.

Exponential & logarithmic curves.

Sine curves.

Other trigonometric curves.

10.     Parametric Equations & Loci.

Rectangular equations from parametric equations.

Various parametric equations for the same curve.

Locus problems solved by parametric equations.

Diameters of conics.

Calculus

(1954 version)

1.         Limits. Derivatives.

2.         Differentiation of , of trig. functions, of inverse trig. functions, of logarithmic & exponential functions, of a sum, a product, a quotient & a function of a function.

3.         Definite & indefinite integration of the above functions & simple functions of them.

4.         Simple applications to curves, tangents & normal, maxima & minima, kinetics, areas and volumes.

(1957 version)

1.         The definition of a derivative, differentiation of , , , .

2.         The exponential and logarithmic functions, their graphs and their derivatives.

3.         Differentiation of a sum, a product and simple case of a function of a function, definite and indefinite integration of the above functions and simple functions of them, simple examples of integration by substitution, simple applications of the calculus to curves, tangents and normal, maxima and minima, kinetics, areas and volumes.

 

1961六年制甲組數學, 1964, 1965（僅用五年制之共有内容）

試卷一：大代數、三角及立體幾何（二小時）

大代數

1.         分式及分式方程。

2.         二次方程式之根，根之和與根之積，二次方程式之圖解，高次方程式而可用二次方程式解者。

3.         聯立方程式：一直線方程式及一、二次方程式之聯立方程式，三元一次聯立方程式，文字聯立方程式。

4.         指數定律，分指數，零指數及負指數。

5.         根式，根式之應用，有理化因式，二項根式之根，無理方程式。

6.         對數原理，底之變換，指數方程式。

7.         比及比例，變數。

8.         常數及變數，函數關係，函數，函數表示法。

9.         多項式。

10.     餘式定理。

11.     恆等式，待定係數法。

12.     部分分式。

13.     絕對對稱及輪換對稱函數及其因子分解。

14.     順序，級數，等差級數，調和級數，幾何級數之收斂。

15.     排列與組合，或然率。

16.     正整指數之二項式定理。

17.     無窮級數之總和，遞差法。

18.     ∑n，∑n^2，∑n^3

19.     數學歸納法原理及應用。

20.     不等式，正數之等差中項及等比中項之比較，含絕對值之簡單不等式。

21.     二次式，二次式之符號，正或負之有限二次式。

22.     排列與組合之繁雜例題。

23.     或然率之加法及乘法定理。

24.     分指數或負指數之二項式定理－應用（無需證明）。

25.     複素數，德摩定理（De Moivir's Theorem）。

26.     方程式論。（a）有理根（b）根與係數（c）方程式之變換（d）漢那法行列式及簡易消去法。

27.     一次聯立方程式之行列式解法。

三角

1.         正弦及餘弦。

2.         直角三角形解法及簡單應用題。

3.         三角函數表用法。

4.         簡易應用題可用直角三角形及對數解者。

5.         三角函數之關係。簡單恆等式。

6.         倒數比。

7.         弧度；弧長。扇形面積。

8.         之極限。

9.         恆等式。

10.     任意角，正或負。

11.     簡易方程（0-180）。

12.     簡單三角函數之圖解。

13.     三角形正弦定律及餘弦定律。

14.    三角形之面積公式，（後者無須證明）。

15.     三角形外接圓，內切圓，及旁切圓之半徑公式。

16.     三角形邊與角之關係。

17.     任意三角形解法。

18.     複角公式，倍角及半角公式。

19.     和與積公式。

20.     高及距離，包括立體之簡易習題。

21.     三角方程式解法（由0-360）。

22.     18，36，54，72之三角函數（可用複角及根式）。

23.     恆等式及簡單消去法。

24.     反函數之一般表示法，已知正弦，餘弦或正切。

25.     解三角形方程式之通法。

26.     弧函數及其圖解。

27.     反函數及其圖解，主值。

28.     反函數之方程式及恆等式。

幾何

1.         圓之對性質。

2.         三角形之外接圓。

3.         圓心角及圓周角。

4.         共圓點之檢騐。

5.         三角形外接圓半徑。

6.         等弧及等弦。

7.         弧長，扇形面積。

8.         切綫性質。

9.         弦切角。

10.     圓之相切。

11.     切綫作法。

12.     設充分已知條件作圓。

13.     正多邊形。

14.     三角形之性質。

15.     軌跡。

16.     恆等式之幾何解釋。

17.     投影及坐標。

18.     餘弦定律。

19.     畢氏（Pythagoras）定理之推廣。

20.     阿氏（Apollonius）定理。

21.     比及比例，比例綫段。

22.     三角形兩邊成比例綫定理及其逆定理。

23.     分角綫定理及其逆定理。

24.     比及比例之作圖。

25.     相似三角形定理。

26.     比例中項定理及作圖。

27.     相交弦定理及其逆定理。

28.     切綫性質定理及其逆定理。

29.     有關相交弦定理之作圖。

30.     相似形面積。

31.     相似多邊形之作圖。

32.     西氏（Cave）定理及其逆定理。

33.     孟氏（Menelaus）定理及其逆定理。

34.     西氏定理及孟氏定理之三角式。

35.     西摩松線（Simson's Line）。

36.     九點圓。

37.     位似多邊形，内分位似中心。

38.     平面幾何定理之分類。

39.     線及面。

40.     平行線及平行面定理。

41.     面及傾斜線上之法線定理。

42.     傾斜線所成之角，線與面所成之角，兩面角。

43.     線與面在平面上之正投影。

44.     正方體，立方體，四面體及錐體之簡單性質。

45.     相似體之體積。

46.     球與平面之截面，相交球體，不在同一平面内四點所作之球體。

47.     經緯度。

試卷二：解析幾何及微積分（二小時）

解析幾何

1.         卡氏正坐標。

2.         兩點間之距離。

3.         分點坐標。

4.         三角形面積。

5.         直線之方程式。

6.         直線方程式之特殊式，求直線方程式滿足已知條件。

7.         兩線交角，平行及垂直。

8.         已知圓心及半徑，求圓之方程式。

9.         圓之普通方程式，求圓之方程式滿足已知條件，如已知直徑兩端點及一圓過三點等。

10.     過圓上一點所作之切線。

11.     抛物線，橢圓及雙曲線軌跡。

12.    方程式

13.     過抛物線上一點所作之切線及法線，次切線及次法線。

14.     軌跡題。

15.     兩曲線之交點。

16.    之符號。一點至直線之距離。

17.     相交兩線間所成角之分角線。

18.     過相交二線之交點之直線。

19.     過原點之直線方程式。

20.     以原點為圓心之圓與直線之交點，已知線坡之直線與圓相切之條件。

21.     由圓外一點至圓所作的切線之長。

22.     正交圓。

23.     兩圓之根軸，三圓之根心。

24.     過直線與圓的交點之圓。過相交二圓交點之圓。

25.     共軸圓。

26.     直線與抛物線之交點，已知線坡的直線與抛物線相切之條件。

27.     抛物線之參數方程式。弦，切線及法線。

28.     抛物線之重要幾何性質。

29.     橢圓之標準方程式。

30.     過橢圓上一點所作之切線及法線，次切線及次法線。

31.     直線與橢圓之交點，已知線坡之直線與橢圓相切之條件。

32.     橢圓之參數方程式，離心角，弦，切線及法線。

33.     橢圓之重要幾何性質。

34.     雙曲線之標準方程式。

35.     過雙曲線上一點之切線及法線，已知線坡之直線與雙曲線相切之條件；次切線及次法線。

36.     雙曲線之參數方程式，弦，切線及法線。

37.     雙曲線之重要幾何性質。

38.     雙曲線之漸近線。

39.     等邊雙曲線。

40.     原點之變換，軸之轉移。

41.     極坐標之直線與圓錐曲線之方程式。極坐標描圖法。極坐標與正坐標之變換。

42.     有心錐線與直線相交，切線及法線；相切條件，弦，平行弦中點之軌跡。漸近線與錐線相切於無限遠，有心錐分線所成之比。

43.     用上項研討有心錐線的方法論述等邊雙曲線，抛物線及圓。

微積分

1.         函數，倚變數及自變數，陽函數及陰函數；含兩個或多個變數之函數。

2.         曲線之斜率及增量之表示法。

3.         微分法，微商。

4.         之導數（n為正整數）。

5.       及之導數。

6.         和，積，商之導數。

7.       ，，，之導數。

8.         二重導數。

9.         之導數（n為負數或分數）。

10.     導數應用題，運動學。

11.     微分及近似值。

12.     積分之意義，簡單之幾何及動力學應用題。

13.     以和之極限求面積。

14.     定積分。

15.     反函數及其微分，反三角函數之導數。

16.     陰函數之微分。

17.     高重導數。

18.     極大與極小，應用題。

19.     不變點。

20.     停止點及迴折點，凹面及凸面。

21.     曲線描圖法。

22.     旋轉體之體積。

23.     正弦及餘弦之積之積分。

24.     定積分及未定積分中變數之變換。

25.     分部積分。

26.     積分近似值，梯形面積法，森臣氏法。

27.     正、負面積，兩曲線所包圍之面積。

28.     已知橫截面之立體體積。

29.     質量中心。

30.     慣性。

31.     弧之長。

32.     旋轉面之面積。

33.     對數函數，圖解。

34.     對數函數及指數函數之微分與積分。

35.     有理函數之積分。

36.     對數之積分。

37.     二項級數，指數級數及對數級數及其有效範圍（無需證明）。

38.     正角柱，斜角柱及錐體之體積。

39.     圓柱及圓錐之體積及曲面面積。

40.     截體及扇形體之體積。

41.     球截體及球體之曲面面積。

 

1965五年制甲組數學, 1968高級數學, 1974附加數學（課程甲）

試卷一：大代數及三角（二小時）

大代數

1.         分式及分式方程。

2.         二次方程式之根，根之和與根之積，二次方程式之圖解，高次方程式而可用二次方程式解者。

3.         聯立方程式：一直線方程式及一、二次方程式之聯立方程式，三元一次聯立方程式，文字聯立方程式。

4.         指數定律，分指數，零指數及負指數。

5.         根式，根式之應用，有理化因式，二項根式之根，無理方程式。

6.         對數原理，底之變換，指數方程式。

7.         比及比例，變數。

8.         常數及變數，函數關係，函數，函數表示法。

9.         多項式。

10.     餘式定理。

11.     恆等式，待定係數法。

12.     部分分式。

13.     絕對對稱及輪換對稱函數及其因子分解。

14.     順序，級數，等差級數，調和級數，幾何級數之收斂。

15.     排列與組合，或然率。

16.     正整指數之二項式定理。

17.     無窮級數之總和，遞差法。

18.     ∑n，∑n^2，∑n^3

19.     數學歸納法原理及應用。

20.     不等式，正數之等差中項及等比中項之比較，含絕對值之簡單不等式。

21.     二次式，二次式之符號，正或負之有限二次式。

22.     分指數或負指數之二項式定理－應用（無需證明）。

三角

1.         正弦及餘弦。

2.         直角三角形解法及簡單應用題。

3.         三角函數表用法。

4.         簡易應用題可用直角三角形及對數解者。

5.         三角函數之關係。簡單恆等式。

6.         倒數比。

7.         弧度；弧長。扇形面積。

8.         之極限。

9.         恆等式。

10.     任意角，正或負。

11.     簡易方程（0-180）。

12.     簡單三角函數之圖解。

13.     三角形正弦定律及餘弦定律。

14.    三角形之面積公式，（後者無須證明）。

15.     三角形外接圓，內切圓，及旁切圓之半徑公式。

16.     三角形邊與角之關係。

17.     任意三角形解法。

18.     複角公式，倍角及半角公式。

19.     和與積公式。

20.     高及距離，包括立體之簡易習題。

21.     三角方程式解法（由0-360）。

22.     18，36，54，72之三角函數（可用複角及根式）

23.     恆等式及簡單消去法。

試卷二：幾何及解析幾何（二小時）

幾何

1.         圓之對性質。

2.         三角形之外接圓。

3.         圓心角及圓周角。

4.         共圓點之檢騐。

5.         三角形外接圓半徑。

6.         等弧及等弦。

7.         弧長扇形面積。

8.         切綫性質。

9.         弦切角。

10.     圓之相切。

11.     切綫作法。

12.     設充分已知條件作圓。

13.     正多邊形。

14.     三角形之性質。

15.     軌跡。

16.     恆等式之幾何解釋。

17.     投影及坐標。

18.     餘弦定律。

19.     畢氏（Pythagoras）定理之推廣。

20.     阿氏（Apollonius）定理。

21.     比及比例，比例綫段。

22.     三角形兩邊成比例綫定理及其逆定理。

23.     分角綫定理及其逆定理。

24.     比及比例之作圖。

25.     相似三角形定理。

26.     比例中項定理及作圖。

27.     相交弦定理及其逆定理。

28.     切綫性質定理及其逆定理。

29.     有關相交弦定理之作圖。

30.     相似形面積。

31.     相似多邊形之作圖。

32.     西氏（Cave）定理及其逆定理。

33.     孟氏（Menelaus）定理及其逆定理。

34.     西氏定理及孟氏定理之三角式。

35.     西摩松線（Simson's Line）。

36.     九點圓。

37.     位似多邊形，内外位似中心。

解析幾何

1.         卡氏正坐標。

2.         兩點間之距離。

3.         分點坐標。

4.         三角形面積。

5.         直線之方程式。

6.         直線方程式之特殊式，求直線方程式滿足已知條件。

7.         兩線交角，平行及垂直。

8.         已知圓心及半徑，求圓之方程式。

9.         圓之普通方程式，求圓之方程式滿足已知條件，如已知直徑兩端點及一圓過三點等。

10.     過圓上一點所作之切線。

11.     抛物線，橢圓及雙曲線軌跡。

12.    方程式

13.     過抛物線上一點所作之切線及法線，次切線及次法線。

 

附錄4：中文中學會考數學於1952年到1965年之考核方式（僅提供英文版本）

1952 (Syllabus 1)

Mathematics數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Arithmetic (4 choose 2-3) B. Algebra (4 choose 2-3) Total 5 Questions

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Plane Geometry (4 choose 2-3) B. Trigonometry (4 choose 2-3) Total 5 questions

 

1953 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Arithmetic (4 choose 2-3) B. Algebra (4 choose 2-3) Total 5 Questions

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Plane Geometry (4 choose 2-3) B. Trigonometry (4 choose 2-3) Total 5 questions

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 8 choose 6

Paper 2 Calculus (2 hours) 8 choose 6 Or Paper 2 Coordinate Geometry (2 hours) 8 choose 6

 

1954 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) 8 choose 5

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) 8 choose 5

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 8 choose 6

Paper 2 Calculus (2 hours) 9 choose 6 Or Paper 2 Coordinate Geometry (2 hours) 9 choose 6

 

1955 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Calculus (2 hours) 9 choose 6 Or Paper 2 Coordinate Geometry (2 hours) 9 choose 6

 

1956 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) 10 choose 6

 

1957, 1958 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) 9 choose 6

 

1959 (Syllabus 1)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Plane Geometry and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) 9 choose 6

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) A. Coordinate Geometry 5 choose 3 B. Calculus 5 choose 3 Total 6 questions

 

1960, 1961 (Syllabus 2)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 5 choose 2 Total 6 questions

Paper 2 Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 5 choose 2 Total 6 questions

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra, Trigonometry and Solid Geometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 5 choose 2 Total 6 questions

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 5 choose 2 Total 6 questions

 

1962, 1963 (Syllabus 2)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 4 choose 2 Total 6 questions

Paper 2 Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 4 choose 2 Total 6 questions

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra, Trigonometry and Solid Geometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 4 choose 2 Total 6 questions

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 4 choose 2 Total 6 questions

 

1964 (Syllabus 2)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 7 choose 4 Total 8 questions

Paper 2 Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 7 choose 4 Total 8 questions

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra, Trigonometry and Solid Geometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 6 choose 4 Total 8 questions

Paper 2 Coordinate Geometry and Calculus (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 6 choose 4 Total 8 questions

 

1965 (Syllabus 3)

Ordinary Mathematics乙組數學

Paper 1 Arithmetic and Algebra (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 7 choose 4 Total 8 questions

Paper 2 Geometry and Trigonometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 7 choose 4 Total 8 questions

 

Advanced Mathematics甲組數學

Paper 1 Algebra and Trigonometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 6 choose 4 Total 8 questions

Paper 2 Geometry and Coordinate Geometry (2 hours) A. Compulsory 4 questions B. Elective 6 choose 4 Total 8 questions