題記:「知識百寶箱」系列是「寶仁工作室」為了實踐2021-2022年度工作願景,而特別設立。目的旨在加快「寶仁工作室」的轉型,全面成為以「知識型專欄」為基礎之「知識主導型」的網誌。期望以協助提升大眾的學術素養為信條,並配合STEM的發展。除了普及科學知識外,也負起潛移默化為大家的人生有所改變的重責大任。將以學術專題探討、學習筆記為內容主體,回饋社會,服務讀者。
内容介紹:本篇屬重啟篇章,會跟讀者分析港大入學試數學課程,本人將透過多份歷史資料,配合本人對高等數學課程的了解,客觀分析港大入學試數學課程的歷年沿革。以協助讀者對港大入學試數學課程的歷年沿革有基本了解,從而幫助有讀者可以選用合適的Past Paper去備試,爭取好成績。以及協助教育工作者在進行數學教育工作,有更多參考資源可供參考。
各位大家好,今天的專題分析屬重啟篇章,會跟讀者分析港大入學試數學課程,本人將透過多份歷史資料,配合本人對高等數學課程的了解,客觀分析港大入學試數學課程的歷年沿革。以協助讀者對港大入學試數學課程的歷年沿革有基本了解,從而幫助有讀者可以選用合適的Past Paper去備試,爭取好成績。以及協助教育工作者在進行數學教育工作,有更多參考資源可供參考。
本篇為重啟篇章,先前撰寫的文章之標題如下:
【浸大數學札記】《特別補課20:特備節目之第四章:升讀數學系後重要準備(補修HKCE及HKAL知識篇)》
正如之前提到,因原有篇章的内容「錯漏百出」,加上新的「考古發現」,使得本人必須重新撰寫,以修訂有問題內容,以及就原有的內容作出補充,以加強讀者對會考及高考數學課程架構的認識。因此,本星期將集中探討港大入學試數學課程,看看在當年的港大入學試數學課程究竟要唸甚麼。
港大入學試的歷史沿革
在本星期,我們正式探討港大入學試的歷史沿革。在過去,港大入學試的發展尤其複雜,課程架構、内容有多次異動,它的改動通常與時年的教育政策有關。由劍橋本地考試(Cambridge Local Examinations)、牛津本地考試(Oxford Local Examinations),到1913年因港大成立而設立港大入學試(Matriculation Examination)。再到1935年為了廢除初級考試、高級考試設立全港中學畢業會考(Hong Kong University School Certificate Examination),到1938年因為設立香港中學畢業會考(Hong
Kong School Certificate Examination),而重設入學試。再到上世紀五十年代中六預科由一年改為兩年。每次的改動,直接影響數學科目的發展,再加上要「從無到有」設立入學試,令數學科目經歷一段由粗疏到系統化的轉變。現在,我們便一起回顧1953年或以前港大入學試的歷史沿革,一起探討此時期數學科目的發展。
劍橋本地考試(Cambridge Local Examinations)及牛津本地考試(Oxford Local Examinations)1886-1912
香港高級程度會考的前身為港大入學試(Matriculation Examination),由於學制曾經有改動,故港大入學試分為1913年至1953年,以及1954年至1979年這兩個階段,前者入讀四年制本科,後者入讀三年制本科,針對三年本科之港大入學試,因為之前已跟大家大篇幅討論,在此便不作覆述了。早在港大成立以前,考生多應考劍橋本地考試(Cambridge Local Examinations),在1886年12年首次舉行,1888年7年改制為牛津本地考試(Oxford Local Examinations),並設有初級考試及高級考試。
劍橋本地考試分為初級試(Junior)及高級試(Senior),其中在初級試方面,考生須於英文閱讀、寫作、文法以及算術中考到合格,並需通過至少兩組科目的考試,共有九組,最多可選考六組,如選考繪圖、音樂的話,則最多可選考五組,如下表所示:
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
Compulsory |
Reading aloud a passage Writing from dictation English Grammar Arithmetic |
|
Section 1: Religious Knowledge |
NA |
|
Section 2: English |
History of England Roman History The Physical, Political, Commercial Geography of Great Britain and
her dependences, and of Europe Shakespeare, Julius Casar |
|
Section 3: Latin |
NA |
|
Section 4: Greek |
NA |
|
Section 5: Franch |
NA |
|
Section 6: German |
NA |
|
Section 7: Mathematics |
Geometry |
Euclid, Book i and ii |
Plane Geometry: Euclid, Book iii, iv and v |
||
Algebra |
Elementary Algebra |
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Algebra |
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Trigonometry |
Plane Trigonometry |
|
Mechanics |
Mechanics |
|
Section 8: Natural Philosophy |
Chemistry Practical Chemistry The Elements of Statics, Dynamics, and Hydrostatics The experimental Laws of Heat |
|
Section 9 |
Zoology Botany |
|
NA |
Geometrical, Drawing and Linear Perspective Freehand and Model Drawing Music |
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
其中,算術一科必修必考,不過無指明考試範圍,故任何算術問題也有機會考核。而數學屬於Section 7之科目,全科分幾何、基本代數、平面幾何、代數、平面三角學、基本力學六個部分。其中,幾何部分包括《Euclid》Book i、ii、iii的內容,涉及《幾何原本》中有關幾何基本特性、平面幾何特性以及圓。基本代數部分包括代數符號和術語的定義和解釋、代數量的加減乘除、整數指數理論、最大公因數和最小公倍數、提取平方根、一次
及二次方程。平面幾何部分為幾何部分的延續,包括《Euclid》Book iii、iv、vi的内容,渉及圓與正多邊形的特性、比例與相似之幾何特性。代數部分為基本代數部分的延續,除此以外尚有二次方程、比和比例、等差和等比級數、排列與組合、正整指數的二項式定理。平面三角學包括三角形的解法和對數的使用,考生只須知道如何求得三角形的邊、角、面積即可,以上課程大多為DSE Core程度。基本力學部分內容不多,只包括作用在一個平面上一點的力的合成與解析、平行力、機械功率、重心、勻加速運動,内容偏向於靜力學和運動學兩大基本課題。
至於高級試方面,英文文法及理解、算術為必修必考,另外要在Section A到Section G,通過至少三個Section,最的選考五科,如果選考繪圖、音樂,則最多選考四科,提供之選修組別如下表所示:
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
Compulsory |
English Grammar and English Composition The principles of practice of Arithmetic |
|
Section A: Religious Knowledge |
NA |
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Section B: |
History of England Greek and Roman History Geography of Great Britain and her dependences, and of Europe Shakespeare, Julius Casar The elements of Political Economy The elements of Logic |
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Section C: |
Latin Greek |
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Section D: |
Franch German |
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Section E: |
Geometry |
Plane Geometry: Euclid, Book i, ii, iii, iv, vi and xi |
Algebra |
Algebra |
|
Trigonometry |
Plane Trigonometry |
|
Conic |
Conic Sections |
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Applied Mathematics |
Applied Mathematics: Elementary Statics, Elementary Dynamics,
Elementary Parts of Astronomy |
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Section F: |
The facts and general principle of Chemical Science Practical Chemical Analysis Statics, Dynamics, and Hydrostatics Experimental laws and elementary principles of Heat Experimental laws and elementary principles of Electricity and Magnetism. Physical Geography (in the wider sense) |
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Section G: |
Zoology Botany |
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Section H: Drawing |
Freehand Models Perspective Imitative Colouring |
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Section I: |
Music |
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
其中,算術一科必修必考,不過無指明考試範圍,故任何算術問題也有機會考核。而第E部分為定性為數學科目,設有平面幾何、代數、平面三角學、圓錐曲線、應用數學五個部分。平面幾何方面,包括《Euclid》Book i、ii、iii、iv、vi和xi至第 21 條之内容,涉及《幾何原本》中有關幾何基本特性、平面幾何特性、圓、圓與正多邊形的特性、比例與相似之幾何特性、立體幾何。代數部分包括方程、比例和變分、等差和等比級數、排列與組合、二項式定理、對數理論。兩部分大多概念,已包括在DSE Core中。平面三角學部分包括指數定理、棣美弗定理以及sinθ和cosθ的θ次方展開式,涉及複數的進一步認識,程度約為會考附加數學改制前的水平。圓錐曲線部分涉及透過幾何和簡單的解析幾何進行處理,考生除了要熟知坐標系、直線與圓的方程外,還需認識軌跡、抛物線、橢圓、雙曲線,程度同樣約為會考附加數學改制前的水平。
至於應用數學,則分成基本靜力學、基本動力學、天文學的基本部分三部分,必部必修,並在同一份試卷中完成。基本靜力學包括質量重量和密度的基本概念、作用在一個平面上的力的平衡、重心的性質、摩擦定律和機械功率。基本動力學包括運動定律及其簡單應用、勻加速運動、落體定律、拋射體、阿特伍德機器,以及工作原理及其基本應用,以上概念大多也為DSE物理的必攻課題。至於天文學的基本部分比較特別,因為在港大入學試力學科以致後繼的高級程度應用數學科中,都從未考過天文物理學,它要求考生熟知到目前為止,它們對於根據形成太陽系的天體的位置和運動來一般解釋更簡單的現象。内容可謂極其廣泛,以現時的航天發展而言,要考問天文物理學,恐怕已足夠開設一個高考科目了。加上涉及的計算未必如此繁雜,難怪港大入學試力學科不設天文物理學,只考古典力學了。
在首屆劍橋本地考試中,初級考試設有算術、代數、力學、歐幾里德幾何、三角學五張試卷。其中,算術、代數、歐幾里德幾何屬必修必考。至於高級考試則設有算術、應用數學、歐幾里德幾何、三角學、代數、圓錐曲線六張試卷。其中,算術、代數、歐幾里德幾何屬必修必考,而三角學、圓錐曲線、應用數學則為選考。提供之試卷如下表所示:
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
Junior |
Senior |
Arithmetic,
Algebra, Mechanics, Euclid, Trigonometry |
Arithmetic,
Applied Mathematics, Euclid, Trigonometry, Algebra, Conics |
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201305/t20130515_58226.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=examination|keyword=examination|orderby=%2BDATE_START)
在初級考試中,不是所有部分可自成一卷,例如幾何、平面幾何部分都是在同一份幾何卷中考核,其中A部為必考之幾何部分,B部為選考的平面幾何部分。同理,基本代數、代數則在同一份代數卷中考核,其中A部為必考之基本代數部分,B部為選考的代數部分。必修必考的算術卷,則似乎按程度分為A、B、C、D四部分,全為必答題。至於力學因為考慮到考生需要,安排了兩個考試日,是設有兩份試卷,沒有分部,全為必答題。同樣,三角學也是沒有分部,全為必答題。有興趣的讀者,可透過以下連結,查閱1886年之初級考試試題,以了解其形式,大家也可以試做:
Euclid, Books I, II, III, IV, VI https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201106/t20110612_33803.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27|keyword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27 Algebra https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201106/t20110612_33802.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27|keyword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27 Arithmetic https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201106/t20110612_33809.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=Cambridge+University+Local+Examination+Papers+for+Junior+Students|keyword=Cambridge+University+Local+Examination+Papers+for+Junior+Students Trigonometry https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201106/t20110612_33801.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination+papers%27|keyword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination+papers%27 Mechanics https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201106/t20110612_33800.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination+papers%27|keyword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination+papers%27|extend_expr=Related+Keywords%3Dexamination+papers |
以上的課程架構,深深影響港大入學試數學科目之發展,也是於1915年引入初級考試、高級考試的原因。
港大入學試(Matriculation Examination)1913-1924
港大在1911年成立後,於1911年之港大規程(Statutes of the University of Hong Kong)中,仍然承認牛津本地考試高級考試,並視之為符合入學條件。到1912年,港大修改大學規程,加入有關入學試的安排。根據1912年之港大規程,入學試學科分組如下:
第一組:英文組 |
英文;聯同英國歷史的問題大綱,另設歐洲地理、亞洲地理(特别是中國地理) |
第二組:經典語言組 |
拉丁或中國古文 |
第三組:數學組 |
數學(包括算術、代數、幾何) |
第四組:現代語言組 |
希臘文、法文、德文、德文、一種中國現代方言,或其他現代語言 |
*為方便解釋,各組名稱由本人自擬
跟1937年之中學會考一樣,也引入科目分組制,分别是英文組、經典語言組、數學組(包括算術、代數、幾何)、現代語言組。入學規定要在必須在首三組合格,且在四科考獲的總分,等於各科所需的及格分數總和才具入學資格。有了規程作依據,首屆港大入學試也因此於1913年開考,稱為香港大學入學資格考試(University of Hong Kong Matriculation Examination)。所有修讀第一班的學生,都可應考此考試。要取得港大入學資格,考生須在同一考試有五科及格,包括英文、數學,另加三科選修科,但算術、代數及幾何只視作一科數學,不可分開計算。另外,也設立不少選修科,例如三角、力學這兩個科目。而所有華藉考生須選修古文科或者是後期中國語文及文學科,且必須合格。
港大入學試數學科目的考試綱要,是由港大數學系牽頭制訂,以配合未來數學系的學習。在1913年首屆入學試中,設數學(Mathematics)、三角學(Trigonometry)、力學(Mechanics)三科,其中數學列為Group A,屬必修必考,以醫學院為例,此科合格分數為45%,而三角學、力學則為Group B,供考生選考。想入讀文學院或工程學院,Group B科目至少要有三個,醫學院最嚴格,三個Group B科目有指定選修要求。此時期的數學,分算術、代數、幾何三部分,全為必修,不可自選。至於劍橋本地考試、牛津本地考試之成績,直到1914年仍然可以用於入讀港大。
由於港大入學試制度剛剛實施,課程架構異常精煉。算術部分的範圍,竟隻字大提,代數部分則考到二次方程,而幾何部分則涵蓋《Euclid》首三冊之内容,包括幾何的基本概念、直線圖形的特性、圓的特性,估計港大為了盡快制訂考試大綱,而採用如此簡潔之描述。基本上,考試是以坊間流行之算術、代數、幾何課本,當作範圍,所以之後的入學試,已不再使用如此簡潔之描述,以免引起不必要的爭議。三角學屬於選修科,内容包括角的測量、直角三角形之三角比、使用四位數表、解三角形、三角形的邊和角之間的簡單關係,內容比較淺易,估計是DSE Core程度。力學同為選修科,定位為計算及理論力學,也為高級程度應用數學科的前身,包括力的合成與分解、平行力、力矩、重心、斜面、槓桿、普通平衡、輪軸的應用、滑輪組、摩擦力、匀加速運動、動量等,内容屬力學的基礎部分。
到1914年,因應課程架構過於簡略,港大決定重編考試大綱,數學仍為Group A必修科目,仍然分為算術、代數、幾何三部分,到1924年更明文規定,必順於算術、代數、幾何考取合格,才算作通過數學考試,其中算術部分所括一般運算,可能會提出必須使用乘除法的簡化方法的問題,但不接受純代數解,但自1917年起,允許考生可以使用代數解,但必須清楚解釋推理的所有步驟,這是考慮到部分算術問題若能用代數方法解決,可以加快處理效率。幾何部分則分為實用幾何和理論幾何,實用幾何部分涉及尺規作圖,考生至少掌握十多種考試範圍列出的作圖圖形,理論幾何部分包括直線上的角、平行線、三角形和直線圖形、面積、圓、軌跡、用幾何方法表恒等式,大多數幾何定理已涵蓋在DSE Core課程中,程度淺易。
至於代數部分方面,1914年範圍仍過於簡略,只表示内容涵蓋初級試中規定的初級代數(Elementary Algebra)和高級代數(Advanced Algebra)課程。當年的初級代數科,内容包括基本代數過程、符號表示、分數、因數、平方根、方程、一元二次方程、方程式的圖形解、整數指數。高級代數之内容包括二元二次聯立方程、HCF和LCM、有理數指數、根式、比例、對數、恒等式、簡單聯立方程式的圖形解。同樣大多數已涵蓋在DSE Core課程中,程度淺易。到1917年,港大決定重編考試大綱,明定代數部分包括基本代數過程、分數、因數、平方根、方程及其應用、HCF和LCM、根式、比例、對數、恒等式、簡單聯立方程式的圖形解,基本上是整合初級代數和高級代數課程内容而得來的,並在1924年新增符號表示。
選修科目方面,三角學部分維持不變,直到1924年才加入弧度法。力學部分直到1918年同樣維持不變。但到1919年起,此科進行大改革,加入更多新內容,新增透過動量變化率測量的力的基本概念、牛頓運動定律、動能和作功、力的單位和測量、力的平衡、扭力或力矩、三個平行力平衡的條件、穩定、不穩定和中性平衡、三力平衡的條件不平行、三角形和平行四邊形的力、液體壓力傳輸、浸入水中和漂浮物體上的壓力、密度、測定相對密度的方法、氣體體積和壓力之間的關係、大氣壓力。這使力學課程變得更全面和系統化,有利港大找出工程人才。
除了三角學、力學,1914年還新增高等數學(Higher Mathematics),
作為Group B選修科目,課程分進階幾何、進階代數和進階平面三角學、初等微積分、應用數學。只要選考其中一部分即可,但任何考生不得選考超過兩個部分。進階幾何方面,内容跟數學科幾何部分相同,再加上圓錐曲線的代數幾何。進階代數和進階平面三角學分進階代數、進階平面三角學兩大重點。進階代數除了數學科代數部分外,還包括三階線性方程、因式分解、複數、數列、排列與組合、正整指數的二項式定理、部分分式、消去法。而進階平面三角學則包括三角函數的週期性、反三角函數、恒等式、倍角公式、三角函數和角度的角量度之間的關係、解三角形、三角形和四邊形的性質、棣美弗定理,主要以代數方法深究三角學。初等微積分則以一般計算、應用為主,包括微分過程的本質、三角函數和簡單有理函數的微分、求導法則、二階導數、曲線的切線和法線、速度與加速度、變率、求極值、微增量,内容側重在微分法上。最後的應用數學涉及靜力學和動力學,考生須使用微分、積分去處理靜力學和動力學問題。全科大多數内容為DSE M2程度,内容比較淺易且全面。
從1913年到1924年的課程架構,看到港大是如何「由無到有」建立入學試之數學科目。由於受劍橋本地考試的影響,數學科目被傳統地分為算術、代數、幾何三部分,至於三角學、力學,則以獨立選修科目的形式存在。同時,又規定算術、代數、幾何必修必考,看得出港大對數學教育完整性的重視。而三角學、力學以獨立選修科目的形式存在,可能是基於此時之時空環境有關,港大認為二者為數學一科的延續,是數學於特定範圍的應用,考生需要同時有良好算術、代數、幾何水平,要求較高,故此時不列作數學科,而是獨立選修科目,還算合理。除此以外,1914年設立的高等數學,為有志深入研習數學的考生,提供另一個選擇,除了原有的幾何、代數、三角學外,還加入以力學為題的應用數學,使用微分、積分去處理靜力學和動力學問題,以及引入初等微積分。不過内容側重在微分法上,相關內容談不上如此深入,而且只是選考單元之一。但是,放在當時的環境,可說是非常「前衛」,也反映了港大對微積分的重視。
港大入學試(Matriculation Examination)1925-1928
到1925年,數學科目出現明顯異動,數學科之課程架構、内容變化不大。其中,算術部分之內容維持不變,代數部分則只新增數列。幾何部分則改以Hall和Stevens之《School Geometry Part I, II, III》,作為考試範圍,到1928年提高要求,以Hall和Stevens之《School Geometry》Part I、II、III、IV及部分之Part V,作為考試範圍,唯考試範圍表示沒有指定教科書,教師可按需要選用適切教材。首三部分涉及直線上的角、平行線、三角形和直線圖形、面積、圓、軌跡,而第四及第五部分則涉及圓的其他特性,以及相似圖形。另外,選修科目之三角學、力學,則維持不變。
至於高等數學方面,則出現大改革,提供進階代數、進階三角學、初等微積分、進階平面和立體幾何、坐標幾何、圓錐曲線、應用數學七個部分供考生選考。同樣只要選考其中一部分即可,但任何考生不得選考超過兩個部分。其中進階代數部分刪去消去法、因式分解,加入指數和對數級數,進階三角學加入消去法。初等微積分加入積分法,包括定義、三角函數定積分和不定積分、微積分的簡單應用、簡單面積和體積,使課程同時涉及微分、積分兩大元素。進階平面和立體幾何在進階幾何的基礎上進行増刪,包括更高級的三角形及其相關圓的幾何形狀、平面和球體的基本幾何形狀、更簡單的正多面體。原來之直線、圓的方程,被列作新設立的坐標幾何部分,圓錐曲線部分則接收進階幾何中有關拋物線、橢圓和雙曲線的座標幾何之内容。應用數學部分除靜力學和動力學外,還加入運動學。
此時期的改動,集中在高等數學,在數學科中主要為小修小改,旨主提升考生的數學水平,特別是讓考生對幾何有全面而廣泛的基本了解。高等數學科之所以出現大改革,主要原因是將高等數學教育系統化。第一個改動是將進階代數和進階平面三角學一分為二。進階幾何部分被分成新的坐標幾何、圓錐曲線,僅保留平面和立體幾何特性,這有助考生更能深入認識代數、三角學,也配合此時期三角學為獨立選修科的安排。而幾何部分通過分拆為坐標幾何、圓錐曲線、平面和立體幾何,同樣協助考生深入認識特定範疇的幾何概念。另一個改動是將初等微積分則加入積分法,使課程同時涉及微分、積分兩大元素,這個改動令微積分教育變得更完整。此後一直到1967年,這個課程框架也一直維持下去,直到1968年大量引入微積分嚴謹理論,才被打破。
港大入學試(Matriculation Examination)1929-1934
到1929年,港大在避免增刪課程内容的情況下,進行課程架構改革。其中最大的改動,是將選修科目之三角學,列為數學科的一部分。由此確立算術、代數、幾何、三角學在數學科中的傳統地位。其中代數、幾何為必修部分,而算術、三角學可二擇其一。有意在港大修讀數學、物理、工程的考生,必須選考三角學。由1931年起,若同時算術、代數、幾何、三角學,且全數合格,可以在選修高等數學時,抵消一個選考單元,至於高等數學,除三角學外,尚包括已屬高等數學選考單元的進階代數、進階三角學、初等微積分、進階平面和立體幾何、坐標幾何、圓錐曲線、應用數學。考生可以選考不超過四個部分。力學科方面,1933年取消大氣壓力。而在1931年至1932年,力學也可視作高等數學之選考單元,故考生可以在選修高等數學時,以此抵消一個選考單元。
從1929年到1934年的課程架構,我們看到是基於課程架構上的改革,而非內容本身。首先,將選修科目之三角學,列為數學科的一部分,反映三角學也是數學的一部分,代表港大承認三角學為數學基礎,學生必須研讀。同時數學科也引入選考安排,代數、幾何為必修部分,而算術、三角學可二擇其一,以照顧考生需要水平,能力強的同學,以及有意在港大修讀數學、物理、工程的考生,可以選考三角學。而且若同時算術、代數、幾何、三角學,且全數合格,還可以在選修高等數學時,抵消一個選考單元。而在高等數學中,加入力學及三角學兩個選考單元,也反映力學及三角學為數學教育不可或缺的一部分,對日後的數學課程發展,影響深遠。
以下是1913到1933年港大入學試數學科目的發展:
1914-1924 |
1925-1928 |
1929-1933 |
|||||
Maths |
Arithmetic |
Maths |
Arithmetic |
Maths |
Arithmetic |
Maths |
Arithmetic |
Geometry |
Geometry |
Geometry |
Geometry |
||||
Algebra |
Algebra |
Algebra |
Algebra |
||||
Trigonometry |
Trigonometry |
Trigonometry |
Trigonometry |
||||
Mechanics |
Mechanics |
Mechanics |
Mechanics |
||||
NA |
Higher Maths |
Higher Geometry |
Higher Maths |
Higher Plane and Solid
Geometry |
Higher Maths |
Higher Plane and Solid
Geometry |
|
Coordinate Geometry |
Coordinate Geometry |
||||||
Conics |
Conics |
||||||
Higher Algebra and Higher
Plane Trigonometry |
Higher Algebra |
Higher Algebra |
|||||
Higher Trigonometry |
Higher Trigonometry |
||||||
Elementary Differential
Calculus |
Elementary Calculus |
Elementary Calculus |
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Applied Mathrmatics* |
Applied Mathematics* |
Applied Mathematics** |
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NA |
NA |
Trigonometry*** |
|||||
Mechanics*** |
*Statics and Dynamics
** Dynamics, including Kinematics, Statics
and Kinetics
***考生可以在選修高等數學時,以此抵消一個選考單元
初級試(Junior Local Examination)1915-1932及高級試(Senior Local Examination)1915-1933
於1915年,港大依照牛津本地考試,引入初級考試(Junior Local Examinations)及高級考試(Senior Local Examinations),與港大入學試同時進行。二者程度較港大入學試低一年及兩年,應考高級考試的考生毋須於初級考試中取得合格成績。由1924年起,所有政府中學需保送第二班、第一班學生應考。其中,高級考試與港大入學試用同一試卷,並於同一試場及時間下進行。要獲得初级文憑(Junior Certificate),需要在英文及另外四科合格。而要取得高級文憑(Senior Certificate),則需要英文、算術及另外三科合格。在1925年以前,女生要多考一科合格,才可以取得高級文憑。如考生於高級考試獲得榮譽成績的話,按規定能獲港大取錄,但不一定升讀大學。
(資料來源:https://zh.m.wikipedia.org/zh-hk/%E9%A6%99%E6%B8%AF%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E6%9C%83%E8%80%83)
初級考試及高級考試設有不少科目供考生選考,如果是女生,還可以報考家政、針黹兩科。不過,部分高級考試科目如簿記,是不可以滿足入學要求,只授予文憑。時年的初級考試設算術、數學兩個數學科目,而高級考試則設算術、數學、三角學、高級數學四科,要注意力學在當時不視作數學科目。而在入學試中,算術、代數、幾何只可視為一科,即是數學,但高級考試卻可算作三科。
初級考試及高級考試設有不少科目供考生選考,如果是女生,還可以報考家政、針黹兩科。不過,部分高級考試科目如簿記,是不可以滿足入學要求,只授予文憑。時年的初級考試設算術、數學、力學三個數學科目,而高級考試則設算術、數學、三角學、高級數學、力學五科。而在入學試中,算術、代數、幾何只可視為一科,即是數學,但高級考試卻可算作兩科,即算術及數學。而在初級考試及高級考試的課程架構,會隨港大入學試課程的調整,而有所不同,但由於資料,故只能通過1922-1924及1925-1927這兩段時期的資料,分析初級考試及高級考試。
在課程内容上,初級考試分算術、數學、力學三科。其中算術科包括一般算術概念,考生需了解常用的重量和尺寸表以及公制系統,可以使用代數符號,但不包括循環小數、立方根提取、折扣、記數法、複利息、股票和股份,大多數已涵蓋在DSE Core課程中。數學方面則分為幾何、初等代數、高等代數、測量、平面三角學共五個部分,最少通過兩個部分,才算作數學科合格,其中一個必須是幾何或初等代數。只考兩個部分者,不可同時選考初等代數及高等代數。
其中,在幾何部分之內容,為港大入學試幾何卷之二分之一。涉及基本的尺規作圖技巧,理論幾何部分包括直線上的角、平行線、三角形和直線圖形、面積、圓,至於軌跡、用幾何方法表恒等式以及涉及圓的進一步特性,則不會考核,大多數幾何定理已涵蓋在DSE Core課程中。1925年則改為以Hall和Stevens之《School Geometry》Part I、II、III,作為考試範圍,唯考試範圍表示沒有指定教科書,教師可按需要選用適切教材。初等代數部分包括基本代數過程、符號表示、分數、因數、平方根、方程、一元二次方程、方程式的圖形解、整數指數。高級代數之内容包括二元二次聯立方程、HCF和LCM、有理數指數、根式、比例、對數、恒等式、簡單聯立方程式的圖形解,到1925年則新増級數,同樣大多數已涵蓋在DSE Core課程中。
測量為初級考試中獨有的,包括三角形、平行四邊形、圓形、稜柱、圓柱體、圓錐體、球體的線性尺寸與面積或體積的關係、高度和距離,包括三維土地測量要素的基本情況,考生需懂得使用方格紙和對數,大多數已涵蓋在DSE Core課程中。平面三角學之内容跟港大入學試三角學相近,但較為淺易,包括角的測量、正角三角比的定義和簡單關係,以及簡單情況下的數值、三角函數的圖像表示、三角形的邊和角之間的簡單關係、使用自然正弦和正切表、直角三角形的解、需要使用三角學的簡單問題,大多數已涵蓋在DSE Core課程中。跟港大入學試不同的是,它不涉及弧度,所解的三角形不是斜三角形,在四位數表使用也只有自然正弦和正切表,涉及的角也以直角、鋭角為主。至於力學科的內容與高級考試相同,唯只考基本論點,即初級考試的力學卷較高級考試淺易。
高級考試方面,則分算術、數學、三角學、力學、高等數學五科。由1925年起,考生必須在算術科中取得合格,其中算術科的内容與港大入學試數學科算術部分完全相同。數學則分代數、幾何兩部分,皆為必修。代數部分括初級試中規定的初級代數和高級代數課程,因此其内容也與港大入學試數學科代數部分完全相同。幾何則與港大入學試數學科幾何部分完全相同。同理,三角學跟力學的內容,也跟港大入學試三角學跟力學完全相同。跟港大入學試一樣,高等數學於1922至1924年也分為進階幾何、進階代數和進階平面三角學、初等微積分、應用數學,1925至1927年則為進階代數、進階三角學、初等微積分、進階平面和立體幾何、坐標幾何、圓錐曲線、應用數學。課程內容也跟同時期之港大入學試高等數學科完全相同。
以下是1922至1924年、1925至1927年初級考試、高級考試、港大入學試之數學科目的發展:
1922, 1924
初級考試 |
高級考試 |
港大入學試 |
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Arithmetic |
Arithmetic |
Mathematics |
Arithmetic |
||
Mathematics |
Geometry |
Mathematics |
Geometry |
Geometry |
|
Elementary
Algebra |
Algebra |
Algebra |
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Advanced
Algebra |
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Mensuration |
NA |
NA |
|||
Plane
Trigonometry |
Trigonometry |
Trigonometry |
|||
Mechanics |
Mechanics |
Mechanics |
|||
NA |
Higher Mathematics |
Higher
Geometry |
Higher Mathematics |
Higher
Geometry |
|
Higher
Algebra and Higher Plane Trigonometry |
Higher
Algebra and Higher Plane Trigonometry |
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Elementary
Differential Calculus |
Elementary
Differential Calculus |
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Applied
Mathematics* |
Applied
Mathematics* |
*Statics and Dynamics
1925, 1927
初級考試 |
高級考試 |
港大入學試 |
|||
Arithmetic |
Arithmetic |
Mathematics |
Arithmetic |
||
Mathematics |
Geometry |
Mathematics |
Geometry |
Geometry |
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Elementary
Algebra |
Algebra |
Algebra |
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Advanced
Algebra |
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Mensuration |
NA |
NA |
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Plane
Trigonometry |
Trigonometry |
Trigonometry |
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Mechanics |
Mechanics |
Mechanics |
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NA |
Higher Mathematics |
Higher
Algebra |
Higher Mathematics |
Higher
Algebra |
|
Higher
Trigonometry |
Higher
Trigonometry |
||||
Elementary
Calculus |
Elementary
Calculus |
||||
Higher
Plane and Solid Geometry |
Higher
Plane and Solid Geometry |
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Coordinate
Geometry |
Coordinate
Geometry |
||||
Conics |
Conics |
||||
Applied
Mathematics* |
Applied
Mathematics* |
* Dynamics, including Kinematics, Statics
and Kinetics
港大引入初級考試(Junior Local Examinations)及高級考試(Senior Local Examinations),一方面仿傚牛津本地考試的做法,另一方面也幫助學校得知考生的水平,進行教與學。這也是1924年起所有政府學校保送第二班、第一班學生應考,以及為應考初級考試、高級考試的補助學校提供補助的原因。由於同時設有初級考試、高級考試,文法學校理所當然先教初級考試之内容,在第二班應考初級考試後,有能力的學生再通過第一班的學習,研讀高級考試要考核的内容,最後再應考港大入學試。而無意升讀港大的考生,也可以應考高級考試,拿到認可資歷,以便應徵諸如法庭翻譯等需要用到英文的工作。所以,畢業生持有這些資歷,已算是「精英分子」,不愁沒有工作。這個安排,有點類似中六預科,不同的是升讀第一班未必是通過公開考試的學生,校内成績達標,理論上已可升讀,這也為1937年設立中五會考、中六預科,埋下伏線。
全港中學畢業會考(Hong Kong University School Certificate Examination)1935-1937
到1932年,教育諮詢委員會(Board of Education)建議統一入學試。由於考試逐漸漸消耗大學職工的能量,為了節省人力、物力,港大於是在1933年舉行最後一次高級考試,並停辦初級考試。到1935年,設立香港大學中學畢業會考(University of Hong Kong School Certificate Examination),又稱全港中學畢業會考(Hong
Kong University School Certificate Examination),供第一班應考,並停止外界舉辦任何「離校」考試,配合學年由1月1日改為9月1日開始,首屆香港大學中學畢業會考於1935年6月舉行。此考試仍然保留科目分組制,分别是英語組、第二語言組、科學組、數學組、史地組以及選修組,每張試卷的合格線為總分之三分之一,有關科目如下表所示:
第一組:英語組 |
英語 |
第二組:第二語言組 |
中國語言、歷史及翻譯 高級中文 國語 粵語、拉丁語、葡語、烏都語;任何獲准的現代語言 |
第三組:科學組 |
物理、化學、初級科學、植物學 |
第四組:數學組 |
算術、代數、幾何、三角學 |
第五組:史地組 |
歷史、地理、聖經知識 |
第六組:選修組(只限女生報考) |
算術或代數 繪畫 家政 針黹 |
*為方便解釋,各組名稱由本人自擬
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/MHK/collections/education/All_Items/PreWarEdu_Prints/201303/t20130311_57316.html)
(資料來源:https://www.hkmemory.hk/collections/education/All_Items/Images/201303/t20130311_57218.html?f=search&t=search_datas.jsp&path=channelid=230719|searchword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27|keyword=KW_OTHER_ENG%3D%27examination%27)
其中,算術、幾何、三角學列為數學組,而選修組則有算術或幾何二科,只限女生應考。必須在首五組合格,最多考九科,女生可以用選修組科目,取代科學組、數學組其中一組之及格要求。要在數學組合格,需要於算術、代數、幾何、三角學中任何兩科合格即可。下圖顯示的是一張合格之會考證書,該生於1936年會考中於英文、中文、高級中文、物理、代數、幾何、歷史、地理中考取合格。顯然在此時期,只須在算術、代數、幾何、三角學中選考兩科數學科目,已可取得證書。1937年,因應教育當局設立第二班會考,香港大學中學畢業會考在同年舉行最後一屆後停辦。由於資料有限,小編不能針對全港中學畢業會考之數學課程,作深入分析。
(資料來源:https://collection.news/appledaily/articles/2Q243T2GGXRGCS2M63U7DUPUXQ)
港大入學試(Matriculation Examination)1938-1953
1937年6月,教育當局舉辦專為第二班學生而設的會考,名為香港中學畢業會考(Hong Kong School Certificate Examination),港大於是在1938年重設入學試。考生須考獲五科合格,並符合指定入學要求。投考港大任何一個學院,除了英文、第二語文、數學外,需於歷史、地理任選一科,再任意選修一科。此時期提供的科目如下:
Group A |
英文 |
Group B |
中文、高級中文(Higher Chinese)、特別中文(Special Chinese)、拉丁文、法文、烏都文、其他古典或現代語言 |
Group C |
物理、化學、植物學 |
Group D |
初等數學(Elementary Mathematics)、高級數學(Advanced Mathematics) |
Group E |
歷史、地理、聖經知識 |
此時期設有初等數學(Elementary Mathematics)及高級數學(Advanced Mathematics)這兩個數學科目,其中初等數學分算術、代數、幾何、三角,投考醫學院的考生,需選考算術、代數其中一科,以及幾何、三角其中一科,而理學院、工程學院、文學院則必修代數、幾何、三角。順帶一提,這兩科最早可追朔至1947年,楊紫芝(後來更任港大醫學院院長)當年便是以這兩科加中、英文、宗教,高分考進港大醫學院。到1941年12月,因香港淪陷,港大無法舉行入學試,直至1946年才因香港重光而復辦。由於資料有限,小編不能此時期的港大入學試之數學課程,作深入分析。
(資料來源:https://www.facebook.com/MedicSecrets/posts/802118999861516/)
到1953年,港大入學試已跟倫敦大學站在相同路線上,考生須在單一及相同的考試中,於以下科目取得合格:
(1) 英文
(2) 初級數學(Elementary Mathematics)
(3) 中文或拉丁語或葡語或烏都語或委員會批准的其他語文
(4) 及 (5) 兩科其他學科,包括地理、歷史、物理和化學、生物、中文、初級中文(Lower Chinese)、拉丁語、法語、葡語、烏都語,及預科批准的其他語文
選擇 (2) 及 (3) 者,考生或可各自投考初級數學及初級中文,惟需取得6科或7科及格。只在初級數學取及格,不可入讀理學院、工程學院、文學院數學主修。同樣,只在低級中文取得合格,也不能入讀中文課程。
因此,1953年港大入學試為一年制預科制度下最後一次港大入學試,只有基本數學(Elementary Mathematics)及初級數學(Lower Mathematics)。其中,基本數學(Elementary Mathematics)分代數與算術、幾何與三角學兩部分,設兩份試卷,每卷兩小時。代數與算術部分方面,代數部分包括基本代數過程、符號表示、因數、分數、平方根、方程、指數、根式、比和比例、最大公因數和最小公倍數、對數、恆等式、餘式定理、圖像、數列,而算術部分涉及一般算術概念,但不包括立方根和符號尺度,可以使用代數符號,大多數已涵蓋在DSE Core課程中。
幾何與三角學方面,幾何部分以Hall和Stevens之《School Geometry》Part I、II、III、IV及V,作為考試範圍,唯考試範圍表示沒有指定教科書,教師可按需要選用適切教材,大多數幾何定理已涵蓋在DSE Core課程中。最後的三角學部分,包括角的測量、正角和負角的三角比、三角函數的圖像、複角公式、倍角公式、三角恒等式、三角方程、三角形的邊和角之間的關係、三角形的中心、三角形面積、解三角形、數表的使用,程度達DSE M2程度。而初級數學(Lower Mathematics)之內容與基本數學(不含三角函數)相同,但題目將更集中在課程大綱的初等部分,並且會更簡單、更直接,而這個安排也適用於1952年之考試。
1952年和1953年的港大入學試由於正值預科學制的變化之年,所以不設高級數學和力學,但這代表沒有任何討論意義,因為基本數學(Elementary Mathematics)的課程架構,可以說是相當廣泛和全面,與中學會考相互配合。代數、算術、幾何、三角學均為必修必考,這與過去算術、三角學可以二擇其一的安排,完全不同。而且內容也比過去的港大入學試數學科,更加深入。以三角學為例,考生需要了解多個重要公式,如複角公式、倍角公式、三角恒等式,而非只知道如何求三角形的邊、角和面積。而引入初級數學(Lower Mathematics),為能力稍遜的學生,提供替代選擇。不過,三角學部分便不含三角函數,題目將更集中在課程大綱的初等部分,並且會更簡單、更直接。這個課程大綱也是為日後1954年設立普通程度及高級程純粹數學而鋪路。只要將基本數學課程内容稍作調整,即可成為普通程度純粹數學,而考生在研習基本數學後,即使1953年入學試失手,仍有足夠能力研習涉及解析幾何、微積分的高級程純粹數學。
下表概述由1913年到2013年之香港大學入學試課程發展:
University of Hong Kong Matriculation Examination (1913-1934) |
|
|||
Mathematics (Arithmetic,
Algebra, Geometry) (1913-1928) |
Trigonometry (1913-1928) |
Higher Mathematics (Higher
Geometry, Higher Algebra, Higher Trigonometry, Elementary Differential
Calculus, Applied Mathematics) (1914-1924) |
Mechanics (1913-1934) |
|
Higher Mathematics (Higher
Algebra, Higher Trigonometry, Elementary Calculus, Higher Plane and Solid
Geometry, Coordinate Geometry, Conics, Applied Mathematics) (1925-1934) |
||||
Mathematics (Arithmetic,
Trigonometry, Algebra, Geometry) (1929-1934) |
|
|||
University of Hong Kong School Certificate Examination (1935-1937) |
|
|||
Mathematics (Arithmetic,
Algebra, Trigonometry, Geometry) (1935-1937) |
NA |
NA |
|
|
University of Hong Kong Matriculation Examination (1938-1953) |
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Elementary Mathematics (1938-1950) |
Advanced Mathematics/ Higher Mathematics (1938-1950) |
NA |
|
|
Elementary Mathematics Lower Mathematics (1951-1953) |
NA |
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University of Hong Kong Matriculation Examination (1954-1965) Advanced Level Examination of the University of Hong Kong
(1966-1979) Hong Kong Advanced Level Examination (1980-2013) |
|
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AL Pure Mathematics (1954-2013) AS Mathematics and Statistics (1994-2013) |
AL/AS Applied Mathematics (1954-2013) |
|
結語
綜觀1913年到1953年,港大入學試數學課程内容雖然遠比上世紀六十至九十年代之高考顯淺,但也是集結不少前人的努力而得來的。小編透過深入了解1913年到1953年港大入學試數學課程,看到的不是課程比現在淺易,而是前人對數學課程的重視。而且從港大入學試數學課程架構,也發現絕大部分直到現在仍保留在現今的課程大綱中,没有因為課程架構多次修改,而受到影響。由於社會、文化、科技的發展,現今中學修讀的課程內容,與一百多年前的中學,早已大相逕庭。而數學能夠在時代的洪流中,展現出其韌性,既沒有被淘汰,更一直保持必修科的地位,足見教育界對數學的重視。這種對數學的重視,對本港日後培育數學人才有一定幫助,也栽培了不少出色的數學家。值得大家鑑賞過去的課程,間接了解教育界是如何重視數學科目,是如何培育一代又一代的數學人才。
各位讀者,本篇的分析主要是建基於歷年之港大入學試數學課程大綱,因此本篇另備有附錄,以中英雙語形式,整理並列出當年的港大入學試數學課程。連結如下:
【知識百寶箱】2024年第26篇:香港高級程度會考數學科目分析(第一班數學篇)(附錄)
https://poyanforum.blogspot.com/2024/06/202426_30.html
另外,在本人撰寫期間,曾研讀大量參考讀物,包括梁操雅和羅天佑合著的《香港考評文化的承與變:從強調篩選到反映能力》,尚有歷年之Regulations and Syllabues,這些Regulations and Syllabues可以在香港中央圖書館、港大參考圖館和中大圖書館中找到。這都幫助本人對港大入學試數學課程有如此透徹的了解,特此鳴謝。
下星期我們會探討高等程度會考數學課程,敬請讀者留意。我們下星期再會。
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