題記：「知識百寶箱」系列是「寶仁工作室」為了實踐2021-2022年度工作願景，而特別設立。目的旨在加快「寶仁工作室」的轉型，全面成為以「知識型專欄」為基礎之「知識主導型」的網誌。期望以協助提升大眾的學術素養為信條，並配合STEM的發展。除了普及科學知識外，也負起潛移默化為大家的人生有所改變的重責大任。將以學術專題探討、學習筆記為內容主體，回饋社會，服務讀者。
内容介紹：本篇屬重啟篇章，會跟讀者分析高級程度會考應用數學課程，本人將透過多份歷史資料，配合本人對高等數學課程的了解，客觀分析高級程度會考應用數學課程的歷年沿革。以協助讀者對高級程度會考應用數學課程的歷年沿革有基本了解，從而幫助有讀者可以選用合適的Past Paper去備試，爭取好成績。以及協助教育工作者在進行數學教育工作，有更多參考資源可供參考。
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筆者快訊： 致全體讀者： 就PGDE升學形勢，至今未見明朗，本人正密切留意事態發展。由於本人必須於六月中決定放取年假日期，不可以不放取，加上本人得需預留假期以應付日後可能涉及之入學註冊程序。本人正考慮在六月上旬，主動向大學詢問申請進度，希望可以得到明確答覆，以決定未來的發展及工作方向。目前，在人事部的主動詢問「是否續約」下，已向人事部下達「將會續約，但如果有任何突發事故，保留修改決定的權利」之指示。一方面保住本人的「TA位」，另一方面保留彈性，以便日後轉任學位教師時，用來「走盞」的，預料會在七月中至八月中，才跟學校處理轉任教師或續任TA的一切程序。現階段仍為主管Science and Technology之教學助理，並繼續在該中學服務。 另外，三天後即5月29日，為版主生日，雖然值得為此慶祝，但由於PGDE升學形勢未見明朗，故此僅向外界簡單公佈喜訊，並低調慶祝，感謝大家關心。 誠心盼望一切順利！ 此致 「寶仁工作室」版主 Sam
Wong 2024年5月26日 |
各位大家好，今天的專題分析屬重啟篇章，會跟讀者分析高級程度會考應用數學課程，本人將透過多份歷史資料，配合本人對高等數學課程的了解，客觀分析高級程度會考應用數學課程的歷年沿革。以協助讀者對高級程度會考應用數學課程的歷年沿革有基本了解，從而幫助有讀者可以選用合適的Past Paper去備試，爭取好成績。以及協助教育工作者在進行數學教育工作，有更多參考資源可供參考。
本篇為重啟篇章，先前撰寫的文章之標題如下：
【浸大數學札記】《特別補課20：特備節目之第四章：升讀數學系後重要準備（補修HKCE及HKAL知識篇）》
正如之前提到，因原有篇章的内容「錯漏百出」，加上新的「考古發現」，使得本人必須重新撰寫，以修訂有問題內容，以及就原有的內容作出補充，以加強讀者對會考及高考數學課程架構的認識。因此，本星期將集中探討高級程度會考應用數學課程，看看在當年的應用數學課程究竟要唸甚麼。
預科應用數學課程發展概述
應用數學科於1954年設立，初期只有高級程度，到1994年才設立高級補充程度，應用數學科設立的初期目的，旨在讓考生深究理論力學，使之應付物理、工程問題，雖然它名為應用數學。但是，港大可說是有先見之明，知道此科將循着「數學化」的方向發展，故不命為力學Mechanics，而是應用數學Applied Mathematics，容許此科日後推動大改革時，不用改名。到1956年，此科引進統計量度，開展應用數學科「數學化」的進程。到1968年，正值新數學運動，應用數學科正式展開全面「數學化」，大幅降低理論力學在此科的深度和比重，由最初佔百分之百，到1983年大減至最多四成。在「數學化」的過程中，不但深化統計學的内容，又引入微積分、向量等數學工具，還新增微分方程及數值法，使應用數學之課題更加多姿多采。
應用數學在「數學化」後，全面轉型為高等數學科目，理論力學部分因為引入微積分、向量等數學工具，變為越來越重視計算，與高級程度物理科越來越重視理論有所不同。加上統計學、微分方程及數值法，使學生掌握各式各樣的數學工具，使之用在科學、工程、社會科學、商科上。應用數學科的發展大致分成四個階段，首階段為1954年到1967年，為一個以力學為主、統計為輔之高等數學科目；1968年到1982年為第二階段，為應用數學開展「數學化」的階段，為此科引入數學方法、微分方程，深化統計學；1983年到1993年為第三階段，為應用數學開展全面「數學化」的階段，為此科引入數值法，確立應用數學課程架構；最後的1994年到2013年為第四階段，引入高級補充程度應用數學，完成應用數學「數學化」的「最後一哩路」。
1954年到1967年之預科應用數學課程
最初期的應用數學，定位為理論力學，是上世紀二十至三十年代港大入學試力學科（Mechanics）的正統繼承者，内容大致分成靜力學、動力學、流體靜力學三部分，三者曾經多次作出課程增刪。在靜力學方面，包括一個或多個物體在單面力或平行力作用下的平衡、平滑連接的框架、質心與摩擦定律、弦和彈簧的虎克定律。到1957年，新增向量加減、簡單薄層和固體的二次矩的測定、摩擦，取消簡單機械、作功、摩擦定律，並將弦和彈簧的虎克定律精簡為虎克定律。動力學方面，包括相對速度和加速度、速度相關圖像、質量、動量、力、衝量、能量和功率、碰撞、恒定力作用下的運動、兩個相連粒子的直線運動、抛體運動、圓周運動、簡諧運動、單擺、在重力作用下做垂直圓周運動、單位、維度的變更。在1957年加入剛體繞固定軸的運動，1965年加入變量力下直線運動、轉動慣量、複擺，1967年取消單擺。流體靜力學方面，則包括流體在某一點的壓力、簡單球面上液體的合推力的大小和方向、浮體部分或全部浸沒的合力。至於自由漂浮或部分支撐的物體的狀態平衡、液體和固體的比重和密度及其實驗測定、波義耳定律、晴雨表，只有1954年至1956年中出現，1957年刪去。到1965年，更取消了流體靜力學這一部分。應用數學試卷設八到九條，再選答六或七條題目，三小時內完成。
另外，通過分析Past Paper，發現應用數學科早於1956年Paper 2有一條是統計量度題目，例如找平均數、方差等。此後考試當局大力強調這部分，在1956年，課程只要求考生了解統計學基本思想、頻數圖、平均數計算、標準差、平均值之標準差，到1965年，再加入中位數和四分位數間距，使考生對統計學有極為基本之了解。自此，應用數學成為一個以力學為主、統計為輔之高等數學科目。此時期之應用數學，絕大多數内容為理論力學，加上少許統計概念。由於當年只可以用四位數表（由1981年起，高考數學科目可用考評局認可的計算機）及計算尺，所以要找平均數、方差並不容易，費時失事。
1968年到1982年之預科應用數學課程
到1968年，應用數學進入史無前例的大改革，為此科引入微積分、向量等數學工具，同時增加統計學於此科之比重，這使得應用數學之課題更加多姿多采。整個課程分數學方法、靜力學、彈性、運動學、動力學、統計學，這六部分也曾經多次作出課程增刪。數學方法為新加入的內容，包括基本微分法、涉及質心和轉動慣量問題的簡單積分、簡單常微分方程、向量理論及向量微積分。為了讓考生了解考核之深度，1970年作中期修改，將基本微分法集中在初等函數、乘積和商、反函數和複合函數以及簡單隱函數。而常微分方程之考核類型，包括一階可分變量，具有常係數的線性一階和二階方程，並且跟物理有關。其中，在向量方面有重大突破，考生需要對向量有更深入了解，除了加法、減法、分量和分解解外，也需研習純量和向量積，以及向量微積分。
靜力學方面，只考核力系、合力、總力矩、物體的平衡、槓槓的平滑連接框架、摩擦，到1972年取消槓桿。在彈性方面則涉及虎克定律、楊氏模量，但於1972年取消。運動學方面包括位置、速度、加速度；他們的分解和組成，動力學方面則包括動力學的基本原理、時間、質量、力和慣性系、動量、角動量、動能、勢能、運動方程式、直線運動、勻速圓周運動、圓錐擺、重力下的垂直圓周運動、剛體繞固定軸的運動、複合擺、拋體運動、簡諧運動、碰撞。有關轉動慣量、單位、維度的變更的内容，則遭刪去。整個理論力學部分跟1954年到1967年之版本相比，明顯有所調整，一些艱深的概念例如流體靜力學，經已不見縱影。
在統計學方面，除了原有的統計學基本思想、頻數圖、平均數計算、標準差、平均值之標準差、中位數和四分位數間距外，還加入概率論、偏度、半四分位數間距、幾何平均數、調和平均數。1970年引入概率基本思想的公理化和經典方法，加入全概率定律和複合概率定律，刪去幾何平均數、調和平均數，1972年刪去偏度。使統計學部分由最初只探討統計量度，改為同時考究統計量度及概率論，在當時也是很大的突破，也突顯在新數學運動下，本港數學界對概率論的重視。不過，統計課題在此時期仍然只放在Paper 2考核。
在1968年到1973年間，預科應用數學課程更強調其多樣性，相比起時年純粹數學科越來越側重於代數、微積分、解析幾何，應用數學科更強調數學在不同層面之應用，所以鋭意進行革新。首先，應用數學科更為重視微積分教育，故此在此科引入基本微積分原理，並學習將微分方程用在力學等各方面，同時有系統地研習向量，最終可以計算涉及向量函數的微積分。其次，應用數學科將統計學的内容進行拓展，引入概率論。在新數學運動下，中學會考數學科首度引入統計量度及概率論，期望加強學生數據處理的能力。應用數學科作為高階數學科目，當然要加強統計學的研習了，於是在課程中引入概率基本思想的公理化和經典方法，以嚴謹方法研究統計理論。雖然遠比M1所修之統計內容少很多，但已算是一個進步。為了成就如此偉大的改革，刪去艱深力學概念，也是避無可避。
到1974年，課程架構精簡成數學方法、理論力學，到1981年，更將統計方法之課題從數學方法中分拆。在數學方法方面除了基本微分法、基本常微分方程、向量及向量微積分外，還加入反函數、基本積分法、二維及三維坐標系。因應課程需求，明訂要學習基本積分法、二維及三維坐標系，實屬合理。而在統計方法方面，則加入二項分布。到1975年重新引入幾何平均數，加入加權平均數、四分位數、十分位數、百分位數。到1978年更引入正態分佈，同時取消四分位數、十分位數、百分位數。這令概率論部分得到昇華，考生得需處理更剔手的概率問題。也由此時開始，將特殊概率分佈列入課程中，考生也需研習如何使用標準正態分佈表。由於不少統計問題都涉及二項分布、正態分佈，所以在課程中加入二項分布、正態分佈，對日後修讀高等數學，有莫大的幫助。
理論力學方面，包括合力、力偶、簡單力圖、物體的平衡、摩擦、相對於參考系的位置、速度和加速度、動力學、牛頓運動定律、慣性參考系、線動量、角動量和能量守恆原理、具自由度的動力系統、變量力下的直線運動、等速圓周運動、重力下的垂直圓周運動、剛體作為一組粒子、質心、繞軸的慣性矩、平行於固定平面的運動、抛體運動、
簡諧運動、碰撞。跟1974年版本相比，沒有太大的差别，這意昧着理論力學在此科的重要性，有所調整，漸漸將重心放在基本概念上，以及如何用數學方法解決力學問題。加上此科是名為「應用數學」，而非「計算力學」，課程設計需要考慮到數學理論的高速發展，過度專精於計算力學，不符合當年預科應用數學教育之原意，這也可以解釋為何要引入數學方法及加強涉及統計學之内容，以回應理工學科之學習需要。
1983年到1993年之預科應用數學課程
到1983年，此科出現重大改革。Paper 1只考理論力學，而Paper 2則只考核非力學課題。除原來的理論力學、概率與統計、微分方程外，還加入數值法，此課程架構也沿用至2013年最後一屆高考。在理論力學方面，包括向量理論及其微積分、向量在物理的應用、牛頓運動定律、粒子在圓周運動、平面上的運動、拋體運動、簡諧運動、碰撞、剛體運動，跟1974年版本相比分别不大。概率與統計方面，除了基本統計量度、概率論、正態分佈、二項分佈，新增假設試驗。微分方程部分跟1974年版本相比分别不大，包括一階及二階微分方程，以及基本微分法及基本積分法。至於新加入的數值法，涵蓋泰勒展開式、數值積分、簡單的誤差估計、方程的數值解及其收歛性、數值方法中的演算法思想和簡單流程圖。
到1992年，除了在應用數學科引入中文試卷外，也有考試範圍中引入詳盡備註，涉及多變量的正態分佈線性組合、渉及樣本的抽樣分佈，也明訂在考試範圍中，其他則維持不變。雖然考試範圍沒有註明，但考試局假定同學具備附加數學科的底子，而Paper 1方面若額外具備物理科的底子，效果更佳。至於甲部必答、乙部選答四題的安排，則在1993年實施。上述安排旨在協助考生更好地準備考試，以及有效評核考生之水平，同時也推動本港母語教育的發展。
綜觀1983年到1993年之預科應用數學課程，課程結構已完全成形，Paper 1只考理論力學，而Paper 2則只考核非力學課題，這個考核安排，反映考試局對理論力學、非力學課題一視同仁，考生必須認真看待每個學習範疇。在過去，由於力學主導整個應用數學課程，在只有極少非力學題的情況下，自然不予重視統計等非力學課題。如今，力學課程今非昔比，考生要力爭好成績，就必須重視微分方程、數值法及概率與統計。而這個安排，也為日後引入高級補充程度應用數學科，埋下伏線。另外，引入數值法也是預科應用數學課程的一大突破，它為考生提供全面而基本的數值分析，也大大應用在理工學科上。數值法讓考生了解如何利用數學方法，強行找出近似結果，也深深影響了高級補充程度數學及統計學之課程設計，以及現今的M1。目前，對數關係之直線轉換、梯形法則，以及曾在會考數學科短暫考核的分半方法，正是最好的例子。
1994年到2013年之預科應用數學課程
到1992年，因應預科學制改革，教育署決定於同年發佈課程綱要，現有的架構仍然維持不變，在經微調後，在1994年高考全面實施。根據1992年的課程綱要，應用數學科分向量與力學、微分方程、數值法及概率與統計四個範圍。向量與力學部分內容包括向量、靜力學和摩擦力、運動學、牛頓運動定律、動量、功、能、功率及其守恆定律、碰撞、在重力下的抽射運動、圓周運動、簡諧運動、質點的平面運動以及
剛體運動；微分方程部分內容包括一階微分方程及其應用、二階微分方程及其應用；數值法部分內容包括插值法及拉格朗日插值多項式、近似、數值積分以及方程的數值解；至於概率與統計部分內容包括初級概率理論、基本統計量度、隨機變量、離散及連續概率分佈以及統計推論。新課程加入二元一階微分方程組、插值多項式，完善了微分方程、數值法的課程架構，也為預科應用數學課程注入更多「活力」。
因應考生程度，考試局於2000年中，修改考試範圍，刪去三重積、二階方程之叠加原理、捨入誤差的處理，但因課程綱要沒有為此作出修改，學校仍會教授相關課題。在2004年，教育當局發佈修訂摘要中，刪去三重積、作用於R3中一直綫之力距、受迫振動和剛體的一般運動。因此，2006年的考試範圍中，刪去受迫振動、於固定平面的剛體運動（改為繞固定軸的剛體運動）。於2004年9月於中六級推行，並於2006年高考正式實施。
課程改革之成果：高級補充程度應用數學
在1994年，考試局引入高級補充程度應用數學，而考試局為此另行編訂試卷。教育當局遂於1991年，頒佈課程綱要，分為向量、微分方程、數值法、初等概率理論四個部分。跟高級程度應用數學相比，向量部分包括向量理論及其微積分、向量在運動學上的應用、利用向量表合力、力矩，並不包括其他理論力學內容。微分方程之内容，跟高級程度應用數學完全相同，數值法方面，多了數據的圖象處理，研究將兩變數的關係約化成線性關係，以及用最少二乘法求最佳擬合直線，但不包括正割法。初等概率理論則包括概率定律，涉及概率的基本特性、加法及乘法定律、貝葉斯定理等，尚有期望值、方差、二項及正態分佈，但有關隨機變量的研究，以及基本統計學的度量、統計推論，則不會考核。
引入高級補充程度應用數學，為課程改革之成果，其中一個原因是解決師資問題。高級程度課程同時涵蓋數學及理論力學，致使可以施教應用數學科的教師，很多都是主修物理、工程，但他們對高等數學之認知又有高有低，使得學校難以找到合適的師資，可以同時施教數學及理論力學。加上現今數學系課程傾向於數學本身，主修數學的同學，已不再需要研習計算力學。所以，教育當局設立一個純粹研習高等數學之「高級補充程度應用數學」，來回應外界的需求。有了「高級補充程度應用數學」，學校可以安排主修數學之教師，施教不包括理論力學，但只算作「半科」的應用數學科，增加開辦此科的學校數目，從而增加選修此科的考生。
第二個原因是考慮到工商業的發展，隨着科技發展，社會需要更多精通高等數學、統計知識的人才。為了吸引考生報考，教育當局於是「度身訂造」一個不涉及力學的「高級補充程度應用數學」。為擁有附加數學底子的理科生，提供研讀應用數學課題的機會，這些應用數學課題，除了應用在物理、工程外，還廣泛應用在科學、社會科學，甚至是精算，對於日後主修數學尤以是主攻應用學科的學生，可謂異常實用。但由於需要擁有附加數學底子，一般文科、商科生只能報考門檻較低的高級補充程度數學及統計學，加上大學收生沒將應用數學科列為必考科目，最多只是指定選修科之一，因而引致這個極具實用性的學科，最終變為「小眾科目」，每年只有約一五千百到兩千人報考。
另外一個原因，是考慮到學生的程度和興趣。部分學生對理論力學興趣不大，只想深究數學本身。「高級補充程度應用數學」因為純粹研習高等數學，沒有任何理論力學之成分，自然成為學生的最佳選擇。此外，個別考生擔心自身的物理水平，未必可以應付比高考物理科還要深的理論力學，加上理論力學部分需要大量借用微積分、微分方程等數學工具，對學生要求很高，使得「高級補充程度應用數學」充當「救生艇」的角色，為他們提供替代選擇。由1998年到2012年，首次報考日校考生報考高級程度及高級補充程度的人數，旗鼓相當，跟絕大多數同時有高級程度及高級補充程度的科目，可謂完全不同。因為高級補充程度之考生，通常遠遠少於報考高級程度之考生。
到1998年，教育當局頒佈課程綱要，高級補充程度應用數學之考核方式有變。由2000年起，高級補充程度應用數學不再另行編訂試卷，修讀高級補充程度的同學，只須應考高級程度應用數學之Paper 2即可。因應這個安排，刪去了向量、將兩變數的關係約化成線性關係，以及用最少二乘法求最佳擬合直線，改為研習正割法，
以及需要了解完整的概率與統計概念，包括有關隨機變量的研究，以及基本統計學的度量、統計推論。據推斷，可能是因為考生人數太少有關，為了節省資源，只好取消另擬試卷，改為採用高級程度應用數學之Paper 2。同樣情況也發生在高級補充程度電腦應用科，不同的是，電腦應用科有不少考生應考，但高級程度電腦科則極少，於是考試局決定以高級程度電腦科之Paper 1，作為高級補充程度電腦應用科之應考試卷，以減省擬卷成本。
課程改革之成果：高級補充程度數學及統計學
在1994年，高級補充程度數學及統計學正式開考。而在設立的時候，已編訂課程綱要，在1991年發布。由於數學及統計學為高級補充程度科目，故只有一卷，考試時間三小時，而在1994年高考首次開考數學及統計學科前，也編訂樣本試卷供同學參考。
根據1991年的課程綱要，全科分代數、微積分、統計三部分。其中，代數、微積分部分佔一半課時，而統計則佔另一半課時。代數部分內容包括排列和組合、二項展式、指數函數及對數函數；微積分部分內容包括極限和導數、微分法、微分法的應用、不定積分法及定積分法；統計部分內容包括基本統計學的量度及其悉義、樣本空間、事件和概率、續概率、伯努利、二項、幾何及泊松分佈、正態分佈和應用、總體參數和樣本統計量以及頻數分佈和擬合概率分佈之比較。在1998年，教育署就數學及統計學制訂補充教材，課程內容不變。而現時的數學（延伸部分單元一），便是以數學及統計學科作藍本，在經刪去較困難的概念以及跟數學（必修部分）有重疊的內容後，沿用至今。
高級補充程度數學及統計學是課程改革之成果，隨着工商業的發展，社會需要更多精通高等數學、統計知識的人才，加上原來的應用數學科入場門檻太高，需要考生有會考附加數學底子，再加上統計部分只佔Paper 2約三分之一，因此應運而生。新設立之數學及統計學，讓沒有應考會考附加數學之文商科生，也可以接受高等數學之研習，了解微積分在工商業之應用；而不打算攻讀數學、工程、物理之理科生，也可以通過這科回顧之前所學之微積分，並學習統計理論。這令此科在設立後大受歡迎，吸了不少學校開辦，包括有「A工廠」之稱之恒生商學書院。以下為高考三大數學科目首次報考日校考生之統計：
|
年份 |
首次報考日校考生人數 |
A純粹數學 |
A應用數學 |
AS應用數學 |
AS數學及統計學 |
|
1998 |
24161 |
6487 |
1057 |
1246 |
4013 |
|
1999 |
25139 |
6777 |
1043 |
1202 |
4473 |
|
2000 |
25848 |
7116 |
1070 |
1291 |
4772 |
|
2001 |
26255 |
7118 |
1021 |
1174 |
5060 |
|
2002 |
26579 |
7030 |
1005 |
1084 |
5208 |
|
2003 |
26434 |
6175 |
868 |
1020 |
5401 |
|
2004 |
26536 |
6507 |
894 |
962 |
5391 |
|
2005 |
26714 |
6320 |
878 |
920 |
5323 |
|
2006 |
27406 |
6474 |
968 |
925 |
5861 |
|
2007 |
28501 |
6656 |
892 |
970 |
5843 |
|
2008 |
29643 |
6734 |
951 |
878 |
5973 |
|
2009 |
28682 |
6472 |
905 |
833 |
5726 |
|
2010 |
29814 |
6556 |
866 |
848 |
5942 |
|
2011 |
31002 |
6614 |
808 |
756 |
5928 |
|
2012 |
30917 |
6510 |
719 |
821 |
5917 |
（資料來源：https://www.hkeaa.edu.hk/DocLibrary/HKALE/Release_of_Results/Exam_Report/Examination_Statistics/alexamstat12_7.pdf）
（資料來源：https://www.hkeaa.edu.hk/DocLibrary/HKALE/Release_of_Results/Exam_Report/Examination_Statistics/alexamstat11_7.pdf）
（資料來源：https://www.hkeaa.edu.hk/DocLibrary/HKALE/Release_of_Results/Exam_Report/Examination_Statistics/alexamstat10_7.pdf）
（資料來源：https://www.hkeaa.edu.hk/DocLibrary/HKALE/Release_of_Results/Exam_Report/Examination_Statistics/alexamstat09_7.pdf）
從上表可見，由1998年到2012年，首次報考日校考生報考數學及統計學科之人數，與純粹數學科旗鼓相當，光是這兩科，已佔據首次報考日校考生的至少四成。意昧差不多一半的應屆預科生，在完成中五後繼續接受數學教育。這個比例可説是相當高，幫助本港一批又一批受過高等數學訓練的人。他們從高等數學訓練中，而有所得益，使他們有能力應付相對基本的高等數學問題，並應用在科學、工程、社會科學、商科上，也為本港發掘一批又一批數學人才，更有些選擇投身數學教育，甚至成為數學家。因此，數學及統計學這一科，對高等數學發展而言，扮演重要角色。
Past Paper及參考書的使用
Past Paper方面，計劃在專上院校攻讀統計學科之同學，數學及統計學所有Past Paper必須完成。因為光是這科已經相當於Calculus課程的二分之一、Probability
and Statistics課程的五分之三，故務必做好這些Past Paper。加上深度跟M1相若，要求也差不多，同學理應可以應付自如。至於應用數學兩科，可以先做2006到2013年的Past Paper，再做1980到2005年的Past Paper。由於高考以港大入學試為藍本，在當年奉行精英制的情況下，題目一般也很深，出題方式千變萬化。況且，1980到2005年的Past Paper對一般同學而言，實在偏深，因此建議以2006年實施中期修改的高考作起點，逐份完成。這段時期的Past Paper形式基本上是翻炒，程度已經過調整，較適合同學操練。
在參考書方面，由於針對應用數學、數學及統計學二科的教材不多，小編只能挑選以下近期出版、同時有中文及英文版本之教科書，以供參考：
|
A/AS應用數學 |
《高級程度：應用數學》 禮文圖書公司於1997年出版 包括：第一冊
向量；第二冊
微分方程；第三冊
數值分析方法；第四冊上
概率論；第四冊下
概率與統計；第五冊
力學 《Applied Mathematics Series》 C.K.W. Publications於1993年1994年出版 包括：Vol. 1 Vectors；Vo. 2 Differential Equations；Vol. 3 Numerical Methods；Vol. 4A Introductory Probability Theory；Vol. 4B
Probability and Statistics；Vol 5. Mechanics I；Vol. 5 Mechanics II |
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AS數學及統計學 |
《文達數學及統計學（香港高級補充程度）第2版》 文達出版（香港）有限公司於2003年出版 《New Way Mathematics & Statistics for Hong Kong AS-Level Second
Edition》 文達出版（香港）有限公司於2002年出版 |
專題探討：漸進式數學課程
在本篇的最後，我們會探討2000年《數學課程全面檢討報告》中有關漸進式數學課程的建議。因為漸進式數學課程本身具高創意義，值得跟大家探討。在《數學課程全面檢討報告》中，針對中學數學課程之重要建議，便是在高中年級只設一個數學科目，並刪除附加數學，以便能提供均等的學習機會及消除標籤效應。因此，往後的中五會考只有數學一科，中五畢業生如果對數學有興趣，才按照自身的需要，選擇適合自己的數學科目，作為中七高考之選修科目。因此，報告建議引入數1、數2、數3、數4、統計1、統計2這六個單元，所有理論力學内容全數刪去，有關與現行課程在深度及廣度方面的比較，以及小編猜測之課程設計及內容，如下表所示：
（資料來源：https://cd1.edb.hkedcity.net/cd/maths/tc/ref_res/publication_c/cAdhoc.htm
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課程 單元 |
與現行課程在深度及廣度方面的比較 |
課程設計及內容 |
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數1 數2 |
數1： 現行高級補充程度數學及統計學科的數學部分 數2： 現行中學會考程度的附加數學減去數1 |
數1 Ø
排列和組合 Ø
二項展式 Ø
指數函數 Ø
對數函數 Ø
極限和導數 Ø
微分法 Ø
微分法的應用 Ø
不定積分法 Ø
定積分法 |
數2 Ø
數學歸納法原理 Ø
正整指數的二項式定理 Ø
二次方程及二次函數 Ø
三角學 Ø
極限和微分 Ø
不等式 Ø
解析幾何 Ø
二維空間的向量 Ø
積分法 Ø
複數 Ø
數據的圖象處理* |
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數3 數4 |
現行高級程度純粹數學科減去現行中學會考附加數學 |
數3：代數 Ø
數學語言 Ø
函數 Ø
數學歸納法 Ø
不等式 Ø
正整指數的二項式定理 Ø
多項式及方程 Ø
R2及R3的向量 Ø
矩陣 Ø
二元及三元線性方程組 Ø
複數 Ø
插值法及拉格朗日插值多項式* Ø
近似* Ø
方程的數值解* |
數4：微積分與解析幾何 Ø
序列、級數及其極限 Ø
極限、連續性及可微性 Ø
微分法 Ø
微分法的應用 Ø
積分法 Ø
積分法的應用 Ø
解析幾何 Ø
一階微分方程及應用* Ø
二階微分方程及其應用* Ø
數值積分* Ø
向量微積分* |
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統計1 統計2 |
統計1： 現行高級補充程度數學及統計學科的統計學部分 統計2： 現行高級程度應用數學科的統計學部分，減去統計1 |
Ø
基本統計學的量度及其悉義 Ø
樣本空間、事件和概率 Ø
續概率 Ø
伯努利、二項、幾何及泊松分佈 Ø
正態分佈和應用 Ø
總體參數和樣本統計量 Ø
頻數分佈和擬合概率分佈之比較 |
Ø
初級概率理論 Ø
基本統計量度 Ø
隨機變量、離散及連續概率分佈 Ø
統計推論 |
*現行高級程度應用數學科的部分課題，例如微分方程及數值法，將納入四個數學單元之內。
採用漸進式數學課程的最大特點，就是設立不同程度的數學科目，擁有不同的組合，供學生自由選擇。根據報告建議，將會設立三個高級補充程度科目，即數學、統計學、數學及統計學，以及兩個高級程度科目，即數學及統計學、數學。在公開考試中，學生不應報考同一單元多於一次。而學生可選修上述五個科目的其中一科，如果要同時選修兩個數學科目，只可採用「高級程度數學科+高級補充程度統計學科」之選科組合。有關課程單元的搭配，以及小編猜測的試卷設計，如下表所示：
（資料來源：https://cd1.edb.hkedcity.net/cd/maths/tc/ref_res/publication_c/Ad%20hoc%20Chi-pdf/AdhocC-Chap5.pdf）
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科目 |
課程單元的搭配 |
試卷設計 |
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高級補充程度 數學科 |
數1 + 數2 |
只設一卷 採用高級程度數學及統計學科 Paper 1數學 |
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高級補充程度 統計學科 |
統計1 + 統計2 |
只設一卷 採用高級程度數學及統計學科 Paper 2統計學 |
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高級補充程度 數學及統計學科 |
數1 + 統計1 |
只設一卷 |
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高級程度 數學及統計學科 |
數1 + 數2 + 統計1 + 統計2 |
Paper 1：數學 數1 + 數2 Paper 2：統計學 統計1 + 統計2 |
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高級程度 數學科 |
數1 + 數2 + 數3 + 數4 |
Paper 1：代數 數1（部分） + 數2（部分）+ 數3 Paper 2：微積分與解析幾何 數1（部分）+ 數2（部分）+ 數4 |
從上表可見，考生可選修的數目增加，由原來兩個高級補充程度科目、兩個高級程度科目，增至三個高級補充程度科目、兩個高級程度科目。連同附加數學（必修數學科除外），光是2006年，考評局需要草擬六份試卷，如果採用漸進式數學課程，則只須草擬五份試卷，每份試卷平均報考人數，由大概四千到八千人不等，足以解決個別科目只有極少考生報考的問題，既可減少營運成本，又可確保考評局「有賺無蝕」。本來，這個漸進式數學課程是相當「前衛」的，但最後不了了之，原因複雜。其中一個原因在於取消附加數學，可能令考生不能及早適應高等數學的學習模式。又由於事前無讀過微積分，要挑戰高級程度數學科，會更見吃力，甚至影響本已緊迫的教學進度。加上部分預科科目（例如物理）需要在微積分基礎，再加上要推行新高中學制，最終有關建議「石沉大海」，自此本港繼續維持原有模式，僅微調課程，直至2009年推行新高中學制、2012年DSE首次開考為止。
愛德思對於漸進式數學課程的實踐
愛德思（Edexcel）為一間位於英國的考試機構，負責根據英國課程規範學校考試，並為國際和地區規模的學校提供資格證書。在International Advanced Levels（IAL）考試中，採用了漸進式數學課程之設計，給予考生一定自由度，使IAL數學科目具高度選科彈性。其中，A Level Mathematics除了Pure Mathematics是必修科外，還可以在Further Pure Mathematics、Further Statistics、Further Mechanics、Decision Mathematics中，自行決定想要的選科組合，而非同時面對Pure Mathematics、Probability and Statistics、Mechanics三大課題。雖然IAL一科A Level科目要考十二份試卷，或令同學比較吃力，但高度的選科彈性，也使考生可能按自身需要，自行剪裁適合自己的數學課程。加上每個單元程度由淺入深、循序漸進，因而成為不少國際考生的選擇。
據2018年起推行的最新課綱，IAL合共提供十四份試卷，其中有四份Pure Mathematics、三份Further Pure Mathematics、三份Mechanics、三份Statistics以及一份Decision Mathematics。所有試卷一律在一小時三十分鐘內完成，每卷佔分相同。選考A Level科目的同學，需要考六份試卷，即每卷各佔六分之一；而AS Level則需要考三份試卷，即每卷各佔三分之一。IAL為同學提供Mathematics、Further Mathematics以及Pure Mathematics三科，各自有其選考組合，三科皆指定數張必考試卷。IAL有不同的選考組合，不能盡錄，所以小編會用下列兩表作例子。IAL只有兩個針對數學科目的選考規定：第一，所有試卷只可計算一次。例如用Statistics 1滿足Mathematics的要求，便不可以再用同一試卷滿足Further Mathematics的要求。換言之，要同時選考A Level Mathematics及AS Level Further Mathematics，必須選考十二份卷；而同時選考AS Level Mathematics及AS Level Further Mathematics的則是六份卷。也基於所有試卷只可計算一次的規下，故衍生出第二個要求，便是已選考Pure Mathematics的同學，不可以選考Mathematics及Further Mathematics。下表為可供選修的科目及其試卷組合：
（資料來源：https://www.hkeaa.edu.hk/DocLibrary/ipe/IAL/LE_IAL_UnitFee_202205.pdf）
（資料來源：https://qualifications.pearson.com/content/dam/pdf/International%20Advanced%20Level/Mathematics/2018/Specification-and-Sample-Assessment/International-A-Level-Maths-Spec-Issue3.pdf）
International Advanced Subsidiary
Level
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IAL Mathematics (AS Level)** |
必考：Pure Mathematics 1, Pure Mathematics 2 選考一卷：Mechanics 1, Statistics 1, Decision Mathematics 1 |
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IAL Further Mathematics (AS Level)** |
必考：Further Pure Mathematics 1 選考兩卷：Further Pure Mathematics 2, Further Pure Mathematics 3, Mechanics
1, Mechanics 2, Statistics 1, Statistics 2, Decision Mathematics 1 |
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IAL Pure Mathematics (AS Level)* |
必考：Pure Mathematics 1, Pure Mathematics 2, Further Pure Mathematics 1 |
International Advanced Level
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IAL Mathematics (A Level)** |
必考：Pure Mathematics 1, Pure Mathematics 2, Pure Mathematics 3, Pure
Mathematics 4 選考兩卷：Mechanics 1, Mechanics 2, Statistics 1, Statistics 2, Decision
Mathematics 1 |
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IAL Further Mathematics (A Level)** |
必考：Further Pure Mathematics 1 選考一卷：Further Pure Mathematics 2, Further Pure Mathematics 3 選考三卷：Further Pure Mathematics 2, Further Pure Mathematics 3, Mechanics
1, Mechanics 2, Mechanics 3, Statistics 1, Statistics 2, Statistics 3,
Decision Mathematics 1 |
|
IAL Pure Mathematics (A Level)* |
必考：Pure Mathematics 1, Pure Mathematics 2, Pure Mathematics 3, Pure
Mathematics 4, Further Pure Mathematics 1 選考一卷：Further Pure Mathematics 2, Further Pure Mathematics 3 |
* A Level科目需考六卷；AS Level則需考三卷，每卷佔分相同
**已選考Pure Mathematics的同學，不可以選考Mathematics及Further Mathematics
**同時選考A Level Mathematics及AS Level Further Mathematics的同學，必須選考十二份卷，同時選考AS Level Mathematics及AS Level Further Mathematics的則是六份卷，每卷只可計算一次
愛德思透過漸進式數學課程，使得愛德思只需十四張試卷，即可開設三個A Level科目及三個AS Level科目，還能做每科都可以選考試卷，跟本港之報告建議截然不同。因為本港之報告是以「科目為本」，即先選科目、後決定要應考之試卷，一旦不合格，便要重新應考整個科目。而愛德思的漸進式數學課程則為「試卷為本」，先決定要應考之試卷，再看看其組合可選考甚麼科目，即使其中一卷不合格，只須補考不合格的試卷即可。本港要引進愛德思漸進式數學課程於新高中數學科，又不是無可能，但必須有有足夠課時（即250小時，相當於一個甲類選修科之課時）。其實，早在2017年，教育當局曾考慮引入選修的進階數學，將M1、M2課程合併，作為全新的甲類選修科，涉及課題如下表所示：
（資料來源：https://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/Senior%20secondary%20Mathematics%20(Extended%20Part_Elective)%20curriculum_Chi.pdf）
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基礎知識 |
微積分 |
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1.
奇函數和偶函數 2.
數學歸納法 3.
二項式定理 4.
指數函數和對數函數 5.
續三角函數 |
6.
極限 7.
求導法及其應用 8.
不定積分法及其應用 9.
定積分法及其應用 10.
梯形法則 |
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統計 |
代數 |
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11.
條件概率與貝葉斯定理 12.
離散隨機變量及概率分佈 13.
二項分佈、幾何分佈、泊松分佈及它們的應用 14.
正態分佈及其應用 15.
抽樣分佈和點估計 16.
總體平均值的置信區間 |
17.
行列式 18.
矩陣 19.
線性方程組 20.
向量及其應用 21.
複數 |
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進階學習單位 |
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22.
探索與研究 |
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（資料來源：https://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/Senior%20secondary%20Mathematics%20(Extended%20Part_Elective)%20curriculum_Chi.pdf）
如要在進階數學中引入漸進式數學課程，可以將課程分成必修必考之卷一，以及選考個別單元之卷二。卷一包括基礎知識、微積分、探索與研究，課程内容跟進階數學的相同。而原有的統計、代數部分，便改制為「選修單元A1：統計」、「選修單元A2：進階統計」、「選修單元B1：代數」及「選修單元B2：進階代數與微積分」，並容許三個選修組合的存在，每個選修組合均有兩個選修單元，而每個選修單元的課時都是相同的。小編建議的架構如下表所示：
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卷一： 必修部分 |
基礎知識、微積分、探索與研究 |
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卷二： 選修部分 |
組合1 |
組合2 |
組合3 |
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選修單元A1：統計 選修單元B1：代數 |
選修單元A1：統計 選修單元A2：進階統計 |
選修單元B1：代數 選修單元B2：進階代數與微積分 |
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如此一來，進階數學科便能夠為照顧不同考生的需要，選擇不同的選修組合，既能保留過去於M1、M2擇一單元的安排，又能提升此科的學術地位，使之成為甲類選修科，能算入五科合格之要求。當然，這個建議是會面對不少阻力，在M1、M2獲大學承認可滿足入學要求，以及不少中學安排相當於甲類選修科之課時去教授後，目前已沒有改革的迫切性，以上所述，也只是小編想起一個「夢境」，僅此而已。漸進式數學課程可否為全球數學教育帶來突破，成為主流？拭目以待。
各位讀者，本篇的分析主要是建基於歷年之高考數學課程大綱，因此本篇另備有附錄，以中英雙語形式，整理並列出當年的高考數學課程。連結如下：
【知識百寶箱】2024年第21篇：香港高級程度會考數學科目分析（中七應用數學篇）（附錄）
https://poyanforum.blogspot.com/2024/05/202421.html
另外，在本人撰寫期間，曾研讀大量參考讀物，包括梁操雅和羅天佑合著的《香港考評文化的承與變：從強調篩選到反映能力》，尚有歷年之Regulations and Syllabues，這些Regulations and Syllabues可以在香港中央圖書館、港大參考圖館和中大圖書館中找到。這都幫助本人對高考數學課程有如此透徹的了解，特此鳴謝。
下星期將繼續轉載試題，並附有題解與分析，敬請留意。我們下星期再會。